Geometria per tutti

[Sk_Anonymous]

Nel trapezio isoscele ABCD (AB || CD) le diagonali AC e BD si
intersecano nel punto O tale che sia AOB=60°.
Dimostrare che il triangolo MNP e' equilatero,essendo M-N-P i punti medi
di AO-BC-DO rispettivamente.
Archimede.

[Piera4]

Dalle ipotesi del problema segue che il triangolo ABO è equilatero.
Da O’ (punto medio di AB) tracciamo la retta parallela ad AC. Questa retta passerà per N e intersecherà il segmento BO nel suo punto medio H (ho utilizzato il teorema: se per il punto di mezzo di un lato di un triangolo si conduce la parallela a un altro lato, questa dimezza il lato rimanente).
Angolo O’HB = 60°, quindi angolo BHN = 120° e angolo NHO = 60° .
Inoltre NH = OC /2 ,poiché è il segmento che congiunge i punti medi dei lati OB e BC del triangolo COB.
Dal teorema di Carnot applicato al triangolo NHB segue che
BN^2 = BH^2 + (OC/2)^2 + OC * BH /2
Dal teorema di Carnot applicato al triangolo NHP e tenendo conto che
OP = OC /2 e OH = BH segue che
PN^2 = (BH + OC / 2)^2 + (OC/2)^2 – OC/2 * ( BH + OC / 2) =
= BH^2 + (OC/2)^2 + OC * BH /2
ovvero BN = PN

Da O’ tracciamo la retta parallela a BD. Ragionando come sopra segue che la retta passerà per M.
Poiché angolo MO’A = 60° , anche angolo MO’N = 60 °.
Dal teorema di Carnot applicato al triangolo MO’N e tenendo conto che
O’N = OC / 2 + BH , O’M = BH segue che
MN^2 = BH^2 + (OC / 2 + BH)^2 – BH ( OC / 2 + BH) =
=BH^2 +(OC/2)^2 + OC * BH /2
ovvero MN = PN = BN

Infine consideriamo il triangolo AOD.
Poiché P e M sono i punti medi dei lati AO e OD, PM = AD / 2, ma AD / 2 = BN, questo implica che PM = BN = MN = PN.

[Sk_Anonymous]

Siamo in pochi ad interessarci di geometria ,vero? E questo dopo
tutti i discorsi che si fanno (anche su questo forum) sul valore formativo
della geometria!
Posto anche la mia soluzione che ,benche' piu' semplice,non vuol essere
assolutamente sostitutiva di quella di Alessandro.
Dal fatto che i triangoli AOB e COD sono equilateri deriva che BM e CP
sono altezze oltre che mediane e questo comporta che i punti M e P stanno
su una stessa circonferenza di diametro BC e centro N.Pertanto:
NM=NP=BC/2 in quanto raggi di tale circonferenza.
D'altra parte dal triangolo AOD e' MP=AD/2=BC/2 e dunque in definitiva e'
NM=NP=MP.
Ciao
Archie