Geometria nello spazio-CILINDRI CHE SI INTERSECANO
Un solido è costituito da due cilindri congruenti circolari aventi altezza h e raggio di base r che si intersecano in modo che l'asse di ognuno sia generatrice dell'altro. Determinare il volume di questo solido.
(VEDERE FIGURA ALLEGATA
)
(VEDERE FIGURA ALLEGATA
)
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Risposte
Qualche idea?
"mgrau":
Qualche idea?
Onestamente no
L'altezza sarà uguale a quella dei cilindri iniziali ma come trovo l'area di base?
Prova a considerare la figura a forma di lente con cui i due cerchi si intersecano, disegna il rombo che ha vertici nei due centri e nei due punti di intersezione, guarda che angoli escono...
"mgrau":
Prova a considerare la figura a forma di lente con cui i due cerchi si intersecano, disegna il rombo che ha vertici nei due centri e nei due punti di intersezione, guarda che angoli escono...
Gli angoli sono retti?
In ogni caso perchè il rombo? a me serve l'area completa ...
L'area della base del solido vale
$2A_c - A_s$
dove
$A_c=$ area cerchi di base dei cilindri, e
$A_s=$ area della parte dei cerchi di base "sovrapposti"
Questa seconda area vale
$A_s=(A_M (r(π-2)+A_m))/2$
dove
$A_M=$ asse verticale della "lente" (supponiamo il maggiore),
$A_m=$ asse orizzontale e
$r=$ raggio dei cerchi di base
Ovviamente, calcolata l'area di base, basterà moltiplicarla per l'altezza del solido...........la formula per l'area della lente l'ho ricavata raddoppiando quella dei segmenti circolari di cui è composta, questi, a loro volta, calcolati come differenza tra l'area del settore circolare che li contiene e quella del triangolo formato dall'asse verticale della lente e i raggi delle circonferenze di base. Okkio xchè i calcoli non sono il mio forte................
$2A_c - A_s$
dove
$A_c=$ area cerchi di base dei cilindri, e
$A_s=$ area della parte dei cerchi di base "sovrapposti"
Questa seconda area vale
$A_s=(A_M (r(π-2)+A_m))/2$
dove
$A_M=$ asse verticale della "lente" (supponiamo il maggiore),
$A_m=$ asse orizzontale e
$r=$ raggio dei cerchi di base
Ovviamente, calcolata l'area di base, basterà moltiplicarla per l'altezza del solido...........la formula per l'area della lente l'ho ricavata raddoppiando quella dei segmenti circolari di cui è composta, questi, a loro volta, calcolati come differenza tra l'area del settore circolare che li contiene e quella del triangolo formato dall'asse verticale della lente e i raggi delle circonferenze di base. Okkio xchè i calcoli non sono il mio forte................
"teorema55":
L'area della base del solido vale
$2A_c - A_s$
dove
$A_c=$ area cerchi di base dei cilindri, e
$A_s=$ area della parte dei cerchi di base "sovrapposti"
Questa seconda area vale
$A_s=(A_M (r(π-2)+A_m))/2$
dove
$A_M=$ asse verticale della "lente" (supponiamo il maggiore),
$A_m=$ asse orizzontale e
$r=$ raggio dei cerchi di base
Ovviamente, calcolata l'area di base, basterà moltiplicarla per l'altezza del solido...........
E come faccio a calcolare di due assi?
Svegliandoti?
Mettici almeno un po' di tuo.....................mgrau ti ha dato una buona dritta.
Mettici almeno un po' di tuo.....................mgrau ti ha dato una buona dritta.
"teorema55":
Svegliandoti?
Mettici almeno un po' di tuo.....................mgrau ti ha dato una buona dritta.
Se ho chiesto aiuto è perché evidentemente non riesco!
Se non volete (o sapete) aiutarmi, tanto vale che non rispondete ...
Non te la prendere, credo che stiamo facendo del nostro meglio per metterti sulla strada giusta. Se ti dessimo la soluzione e tu la copiassi...........avresti imparato qualche cosa?
Gli angoli sono retti solo nel caso particolare in cui il rombo è un quadrato, e non è il tuo......comunque il rombo è particolare.........se ogni cilindro deve essere tangente al piano perpendicolare alla figura passante per l'asse di rotazione dell'altro, l'asse minore è facile da calcolare, e di conseguenza anche l'altro........
"LoreVa":
Gli angoli sono retti?
In ogni caso perchè il rombo? a me serve l'area completa ...
Gli angoli sono retti solo nel caso particolare in cui il rombo è un quadrato, e non è il tuo......comunque il rombo è particolare.........se ogni cilindro deve essere tangente al piano perpendicolare alla figura passante per l'asse di rotazione dell'altro, l'asse minore è facile da calcolare, e di conseguenza anche l'altro........
Ma li hai disegnati i due cerchi che si intersecano? E hai disegnato il rombo? Dai, non puoi non vedere che angoli ha !!
"teorema55":
Non te la prendere, credo che stiamo facendo del nostro meglio per metterti sulla strada giusta. Se ti dessimo la soluzione e tu la copiassi...........avresti imparato qualche cosa?
[quote="LoreVa"]Gli angoli sono retti?
In ogni caso perchè il rombo? a me serve l'area completa ...
Gli angoli sono retti solo nel caso particolare in cui il rombo è un quadrato, forse proprio il tuo caso......se ogni cilindro deve essere tangente al piano perpendicolare alla figura passante per l'asse di rotazione dell'altro, l'asse minore è facile da calcolare, e di conseguenza anche l'altro........[/quote]
Gli angoli sono allora 120-120 60-60
Bene, ora riesci a trovare l'area del rombo? E quella della lente?
Okkio che per maggiore chiarezza ho modificato il post precedente...............
Vedi che l'asse minore è lungo come un raggio? Poi, per l'asse maggiore..........conosci il teorema di Pitagora?
Vedi che l'asse minore è lungo come un raggio? Poi, per l'asse maggiore..........conosci il teorema di Pitagora?
"mgrau":
Bene, ora riesci a trovare l'area del rombo? E quella della lente?
Dunque, la diagonale maggiore è r, quella minore $sqrt(3)$r
L'area del rombo dovrebbe essere $sqrt(3)$$/2$ r
"LoreVa":
Gli angoli sono allora 120-120 60-60
"LoreVa":
Dunque, la diagonale maggiore è r, quella minore $sqrt(3)$r
L'area del rombo dovrebbe essere $sqrt(3)$$/2$ r
Magari $r$ sarà la diagonale minore
E l'area sarà $sqrt(3)/2 r^2$
E l'area della lente? (Nota che la lente è delimitata da due archi di 120°, 1/3 della circonferenza)
"mgrau":
[quote="LoreVa"]
Dunque, la diagonale maggiore è r, quella minore $sqrt(3)$r
L'area del rombo dovrebbe essere $sqrt(3)$$/2$ r
Magari $r$ sarà la diagonale minore
E l'area sarà $sqrt(3)/2 r^2$
E l'area della lente? (Nota che la lente è delimitata da due archi di 120°, 1/3 della circonferenza)[/quote]
$2/3$πr^2 ?
Quella è l'area della fetta di 120°. Ma la lente (anzi, metà della lente) è la fetta meno il triangolo che unisce il centro con gli estremi della lente
"mgrau":
Quella è l'area della fetta di 120°. Ma la lente (anzi, metà della lente) è la fetta meno il triangolo che unisce il centro con gli estremi della lente
Quindi? Sto andando in panico
Considera la fetta di 120°. Questa ha area $1/3pi r^2$.
La fetta è delimitata da: due raggi, che formano fra loro un angolo di 120°, e un arco di circonferenza.
Unisci gli estremi dei raggi fra di loro. In questo modo hai diviso la fetta in un triangolo isoscele, con angolo al vertice 120°, e una lunetta. La lunetta è la metà della lente che ti interessa.
Il triangolo, come vedi subito, è equivalente a un triangolo equilatero con lato r, la sua area è $sqrt(3)/4r^2$.
L'area della lunetta è la fetta meno il triangolo, l'area della lente è il doppio, quindi:
$A_L = 2*(1/3 pi r^2 - sqrt(3)/4 r^2) = 2r^2 ( 1/3 pi - sqrt(3)/4)$
Infine , l'area di base del tuo solido è il doppio del cerchio meno la lente, cioè:
$A = 2pir^2 - A_L = 2pir^2 - 2r^2( 1/3 pi - sqrt(3)/4) = r^2(4/3pi + sqrt(3)/2)$
La fetta è delimitata da: due raggi, che formano fra loro un angolo di 120°, e un arco di circonferenza.
Unisci gli estremi dei raggi fra di loro. In questo modo hai diviso la fetta in un triangolo isoscele, con angolo al vertice 120°, e una lunetta. La lunetta è la metà della lente che ti interessa.
Il triangolo, come vedi subito, è equivalente a un triangolo equilatero con lato r, la sua area è $sqrt(3)/4r^2$.
L'area della lunetta è la fetta meno il triangolo, l'area della lente è il doppio, quindi:
$A_L = 2*(1/3 pi r^2 - sqrt(3)/4 r^2) = 2r^2 ( 1/3 pi - sqrt(3)/4)$
Infine , l'area di base del tuo solido è il doppio del cerchio meno la lente, cioè:
$A = 2pir^2 - A_L = 2pir^2 - 2r^2( 1/3 pi - sqrt(3)/4) = r^2(4/3pi + sqrt(3)/2)$
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