Geometria - Fasci di rette e rototraslazioni

[Erreelle]

Eccomi qui, il 31 dicembre a fare esercizi di geometria, spero almeno stimoli l'appetito in vista del cenone :).

Mi servirebbe una correzione dei primi 2 esercizi più, se non è di troppo disturbo, la soluzione del terzo. Per i primi 2 ove possibile ho già verificato io tramite Derive, vorrei sapere giusto se le procedure sono corrette e se qualcosa si poteva risolvere in maniera più semplice e veloce:

Es 1
Dopo aver studiato il fascio

[math]F[/math]

generato dalle rette

[math]r:\;2x+y-3=0[/math]

ed

[math]s:\;x+3y+1=0[/math]

(proprio o improprio, centro o direzione) trovare gli eventuali valori che devono assumere i parametri

[math]a[/math]

e

[math]b[/math]

affinché la retta

[math]t:\;ax+by+a+b=0[/math]

appartenga al fascio

[math]F[/math]

. Trovare gli eventuali valori che deve assumere il parametro

[math]k[/math]

affinché la retta

[math]t:\;x+ky=k+1[/math]

appartenga ad

[math]F[/math]

.

[math]y=-2x+3[/math]

[math]y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}[/math]

Il coefficiente angolare non è lo stesso -> fascio proprio.

Trovo il centro:

[math]r-2s \to -5y-5=0 \to y=-1 \to x=2[/math]

Trovo i valori di a e b:

[math]\begin{vmatrix}
a & b & a+b\\
2 & 1 & -3\\
1 & 3 & 1
\end{vmatrix}=0\\
a(1+9)-b(2+3)+(a+b)(6-1)=0\\
10a+5b+5a+5b=0\\
15a=0\\
a=0\\
b=qualsiasi\;numero\;reale[/math]

Trovo i valori del parametro k:

[math]\begin{vmatrix}
1 & k & -k-1\\
2 & 1 & -3\\
1 & 3 & 1
\end{vmatrix}=0\\
(1+9)-k(2+3)+(-k-z)(6-1)=0\\
10-5k-5k-5=0\\
k=\frac{1}{2}[/math]

Es 2
Dopo aver studiato il fascio di rette

[math]F[/math]

generato da

[math]r:\;2x+y+1=0[/math]

ed

[math]s:\;2x+2y+1=0[/math]

(proprio o improprio, centro o direzione) stabilire se la retta a di equazione

[math]a:\;x+2y=8[/math]

appartiene o no al fascio

[math]F[/math]

. Trovare, se esiste, la retta di

[math]F[/math]

passante per il punto

[math]A(1,-2)[/math]

.

[math]y=-2x+1[/math]

[math]y=-x-\frac{1}{2}[/math]

Il coefficiente angolare non è lo stesso -> fascio proprio.

Trovo il centro:

[math]r-s \to -y=0 \to y=0 \to x=\frac{1}{2}[/math]

Stabilisco se la retta a appartiene al fascio:

[math]\begin{vmatrix}
1 & 2 & -8\\
2 & 1 & 1\\
2 & 2 & 1
\end{vmatrix}=0\\
(1-2)-2(2-2)-8(4-2)=0\\
-1-16=0 \to La\;retta\;non\;appartiene\;al\;fascio.[/math]

Trovo la retta passante per due punti (il centro del fascio e A):

[math]\begin{vmatrix}
x & y & 1\\
\frac{1}{2} & 0 & 1\\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}=0\\
x(2)-y(-\frac{1}{2}-1)+1=0\\
2x+\frac{3}{2}y+1=0[/math]

In caso di fascio improprio, per direzione si deve indicare solo il coefficiente angolare

[math]m[/math]

o è richiesto qualcos'altro?

Es 3
Fissato nel piano euclideo il sistema di riferimento R, studiare il fascio φ di rette (proprio o improprio, centro o direzione) generato dalla congiungente

[math]A(1,4)[/math]

con

[math]B(1,-3)[/math]

e dalla retta s passante per

[math]S(2 , 1)[/math]

ed avente il vettore

[math](-2,1)[/math]

come sua direzione normale.
Si denoti con R' il sistema di riferimento che si ottiene:

• traslando l'origine O nel centro di φ se questo è proprio;


• ruotando attorno all'origine O il semiasse positivo delle ascisse in modo che risulti avere la stessa direzione e lo stesso verso del vettore scelto per rappresentare la direzione comune a tutte le rette del fascio φ se questo è improprio.

Dopo aver scritto le equazioni del cambiamento di riferimento R → R ', trovare le coordinate di A e l’equazione della retta s nel riferimento R'.

[romano90]

Il primo mi sembra giusto


Il secondo hai sbagliato il segno dell'ascissa del centro

Viene

[math]C\; (-\frac{1}{2},0)[/math]

La prima retta, anche se hai sbagliato il centro, non appartiene comunque al fascio.

(Se vuoi puoi farti i calcoli per vederlo, in modo da averli giusti)



la retta per il centro e il punto A viene:

[math]\frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1}
\\ \frac{y}{2}= \frac{x+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}
\\ 3y=4(x+\frac{1}{2})
\\ y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}


[/math]

Per direzione di fascio improprio credo si intenda il coefficiente angolare m.


Per il terzo mi dispiace ma non ti so aiutare...

[Erreelle]

Ti ringrazio per la correzione :)

Per il terzo aspetterò qualcuno amante delle rototraslazioni.

[romano90]

Prego ;)