Geometria - Fasci di piani

[Erreelle]

Salve, se possibile mi servirebbe una mano con questo esercizio:

Dopo aver studiato il fascio F generato dai piani

[math]\alpha:\; 2 x + y - z = 0[/math]

e

[math]\beta:\; x + 3 y + 1 = 0[/math]

(proprio o improprio, asse o giacitura) trovare gli eventuali valori che devono assumere i parametri a e b affinché il piano

[math]\gamma:\;ax + by + az + b = 0[/math]

appartenga al fascio F.

Per lo studio del fascio ho trovato i vettori ortogonali ai piani:

[math]\vec{a}(2,1,-1)[/math]

[math]\vec{b}(1,3,0)[/math]

I due vettori non sono linearmente dipendenti, quindi i piani non sono paralleli.
Il fascio dovrebbe quindi essere un fascio proprio con asse la retta:

[math]r:\begin{cases}2 x + y - z = 0\\
x + 3 y + 1 = 0\end{cases}[/math]

E' sufficiente questo come studio del fascio? Spero di sì, il problema nasce però con la seconda parte dell'esercizio.

Per stabilire per stabilire per quali valori di a e b il piano γ appartiene al fascio ho pensato di utilizzare la matrice associata ai tre piani:

[math]A=\begin{pmatrix}
a & b & a & b\\
2 & 1 & -1 & 0\\
1 & 3 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/math]

e di imporre che il rango di A sia

[ciampax]

Hai usato il giusto procedimento. La soluzione trovata è giusta: quello che hai determinato è che, allora, non può esistere un piano di quella forma nel fascio.

[Erreelle]

Grazie mille, si può chiudere :).

[ciampax]

Chiudo.