[Geometria euclidea] Primo e secondo criterio di congruenza fra triangoli

[susanna.basta]

ragazzi mi servirebbero questi problemi mi mancano da fare solo questi due che non li ho capiti bene. i problemi con rispettiva ipotesi e tesi: (grazie in anticipo)
1 dimostra che le bisettrici uscenti dagli estremi della base di un triangolo isoscele son congruenti
2 in un triangolo ABC ,isoscele sulla base AB ,siano M ed N , rispettivamente ,i punti medi di AC e di BC. considera un punto P ,sulla mediana relativa ad AB , e dimostra che i due triangoli PMC e PNC sono congruenti

Aggiunto 6 minuti più tardi:

grazie

[Studente Anonimo]

1. Dopo aver fatto un bel disegno:

dato che per ipotesi il triangolo

[math]ABC[/math]

è isoscele su base

[math]AB[/math]

,
ossia

[math]AC \cong BC[/math]

, per un noto teorema sul triangolo isoscele,
si ha

[math]C\hat{A}B \cong C\hat{B}A[/math]

; inoltre, sempre ipotesi, sappiamo che

[math]C\hat{A}E \cong E\hat{A}B[/math]

e

[math]C\hat{B}D \cong D\hat{B}A\\[/math]

.

Tutto ciò premesso, considerando i triangoli

[math]ABD[/math]

e

[math]ABE[/math]

,
si nota che hanno

[math]AB[/math]

in comune,

[math]D\hat{A}B \cong E\hat{B}A[/math]

per prece-
dente dimostrazione e

[math]A\hat{B}D \cong B\hat{A}E[/math]

perché metà di angoli
congruenti, quindi tali triangoli sono congruenti per il secondo
criterio di congruenza fra triangoli.

In particolare,

[math]AE \cong BD[/math]

perché lati corrispondenti di triangoli
congruenti, come volevasi dimostrare.


2. Dopo aver fatto un bel disegno:

dato che per ipotesi il triangolo

[math]ABC[/math]

è isoscele su base

[math]AB[/math]

, os-
sia

[math]AC \cong BC[/math]

e

[math]CP[/math]

è bisettrice dell'angolo al vertice

[math]A\hat{C}B[/math]

,
per un noto teorema sul triangolo isoscele,

[math]CP[/math]

è anche altezza e
bisettrice, quindi

[math]M\hat{C}P \cong N\hat{C}P[/math]

per definizione di bisettrice.
Inoltre, sempre per ipotesi:

[math]AM \cong MC[/math]

e

[math]BN \cong NC\\[/math]

.

Tutto ciò premesso, considerando i triangoli

[math]PMC[/math]

e

[math]PNC[/math]

,
si nota che hanno

[math]PC[/math]

in comune,

[math]MC \cong NC[/math]

per proprietà
transitiva e

[math]M\hat{C}P \cong N\hat{C}P[/math]

per precedente dimostrazione,
quindi tali triangoli sono congruenti per il primo criterio di con-
gruenza fra triangoli, come volevasi dimostrare.


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)