Geometria euclidea delle superiori

[HH07]

Ho bisogno di aiuto su un problema che non riesco a risolvere.
Ho provato molteplici soluzioni e ipotesi come utilizzare la somma degli angoli interni o le proprietà dei triangoli isosceli, equilateri o rettangoli. Questo problema fa parte del capitolo sui triangoli ma io utilizzo metodi di questo e altri capitoli però penso di star complicando il problema che comunque si trova nella categoria normale non complicato.

Problema:
Dimostra che in un triangolo isoscele il punto di intersezione delle mediane relative ai lati obliqui appartiene alla bisettrice dell'angolo al vertice.

Ho provato a dimostrare che il triangolo in questione sia equilatero così da dimostrare che tutti gli elementi come bisettrici, mediane e altezze coincidono solo in un punto per la una proprietà del triangolo equilatero.

[anna.supermath]

Fai riferimento alla figura che ho allegato
considera i, triangolo isoscele sulla base AB e traccia le sue mediane AD e BE.
Ipotesi
ABC è isoscele
AD e BE sono le mediane dei lati BC e Ac, rispettivamente
Tesi
Il puntato di intersezione di AD e BE, che ho indicato con F, è sulla bisettrice dell’angolo al vertice C.

Dimostrazione
Considera in triangoli ABE e ABD, questi sono uguali per il Primo Criterio di Congruenza dei triangoli, infatti
AB è in comune
AE = DB perche metà dei lati del triangolo isoscele ABC
Gli angoli EAB e DBA sono uguali, perché angoli alla base del triangolo isoscele: EAB = DBA
Essendo uguali tali triangoli, saranno uguali anche gli angoli AEB e BDA:
AEB = BDA
Adesso considera i triangoli AFE e DFB, questi sono uguali per il Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli, infatti:
gli angoli AEB e BDA sono uguali per la precedente dimostrazione, AEB = BDA;
gli angoli EFA e DFB sono uguali perché opposti al vertice,
EFA = DFB;
i lati AE e DB sono uguali perché sono la meta dei lati del triangolo isoscele ABC, AE = DB.
Essendo uguali tali triangoli, sono uguali i segmenti EF e FD,
EF = FD
Infine considera i triangoli FEC e FDC, questi sono uguali per il Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli, infatti
EC = CD perché sono la metà dei lati del triangolo isoscele
EF = FD per la precedente dimostrazione
CF è un lato in comune.
Se i triangoli FEC e FDC sono uguali, avranno uguali anche gli angoli ed in particolare saranno uguali gli angoli ECF e DCF
ECF = DCF
Quindi CF è la bisettrice dell’angolo al vertice C del triangolo isoscele ABC ed il punto F si trova su tale bisettrice.
Se hai dubbi, chiedi pure

[HH07]

Grazie mille!