Geometria e insiemi

[fabjim25]

Quando mi trovo con il punto la retta il piano e lo spazio della geometria euclidea non so se pensare a dei simboli tracciati sul foglio o a delle idee che non si trovano realmente;sapreste dirmi cosa pensate di questi enti?
Un insieme che cos’è? Un numero,un raggruppamento? Se è un raggruppamento di oggetti mentali come faccio a capire l’insieme vuoto se non ha elementi,sarà un simbolo?
Un ultima cosa : se L è l’insieme dei segmenti dello spazio e LxL indica l’insieme delle coppie ordinate dei segmenti ordinati dello spazio, con la coppia (AB,CD) intendo due segmenti diversi; ma con (AB,AB) cosa intendo,lo stesso segmento o due segmenti diversi oppure considerare gli elementi di un insieme puri simboli?
Grazie.

[honey1]

spero di aver capito bene le domande e i dubbi che hai...

punto, retta e piano non sono enti concreti perchè è impossibile per esempio poter disegnare un punto senza che abbia una certa grandezza. dal punto di vista pratico, cioè della risoluzione dei problemi per forza dobbiamo avere qst enti espressi graficamente su un foglio di carta.

poi per quanto riguarda l'insieme: è il raggruppamento di vari elementi diversi. ad esempio l'insieme dei numeri, l'insieme degli alunni di una classe, ecc...

se hai due insiemi e devi mettere in relazione elementi dei due insiemi ad esempio Ab come elemento del primo insieme e Cd come elemento del secondo questo tipo di relazione che intecorre tra gli elemnti di due insiemi si chiama funzione e quindi non potresti avere AB in relazione con AB se devi fare in modo che all'elemento Ab ne corrisponda un'altro del secondo insieme.

[oronte83]

"honey":spero di aver capito bene le domande e i dubbi che hai...
se hai due insiemi e devi mettere in relazione elementi dei due insiemi ad esempio Ab come elemento del primo insieme e Cd come elemento del secondo questo tipo di relazione che intecorre tra gli elemnti di due insiemi si chiama funzione e quindi non potresti avere AB in relazione con AB se devi fare in modo che all'elemento Ab ne corrisponda un'altro del secondo insieme.

Diciamo che è una relazione e basta...funzione è una relazione (intesa come sottoinsieme del prodotto cartesiano) che associa a ogni elemento del dominio un solo elemento del codominio...una relazione che associa a un elemento di un insieme un elemento di un altro insieme non è per forza una funzione.
Per rispondere a Fabio_84...se costruisci un insieme di coppie è chiaro che (AB, AB) rappresenta la coppia fatta dal segmento AB, preso una volta in L e la seconda volta ancora in L, dal momento che tu costruisci LxL come prodotto cartesiano di L con se stesso. Se la relazione fosse quella di congruenza tra segmenti, questo ti dice che AB è congruente a se stesso. (AB, AB) non è un segmento, ma una coppia che ha per elementi due segmenti. Se tu costruisci il prodotto cartesiano $RXR=R^2$ in questo c'è anche la coppia - il vettore - (5, 5) ad esempio. Ricordo che il prodotto cartesiano è fatto di tutte le coppie ordinate di elementi presi nell'uno e nell'altro insieme, dall'insieme stesso e dall'insieme vuoto.

[oronte83]

"fabio_84":Quando mi trovo con il punto la retta il piano e lo spazio della geometria euclidea non so se pensare a dei simboli tracciati sul foglio o a delle idee che non si trovano realmente;sapreste dirmi cosa pensate di questi enti?
Un insieme che cos’è? Un numero,un raggruppamento? Se è un raggruppamento di oggetti mentali come faccio a capire l’insieme vuoto se non ha elementi,sarà un simbolo?

Non ho risposto a queste due domande perchè le risposte di honey mi sembrano corrette...preciso solo un po'. In effetti come ho già detto in un altro tuo post, punto, retta e piano sono concetti primitivi della geometria, che non possiamo definire. Ovviamente la nostra mente non riesce a pensare a un punto privo di dimensione, o a una retta lunghissima ma senza un minimo spessore. E' chiaro che abbiamo necessità di disegnare punti rette e piani per risolvere i problemi.
Chiamiamo insieme una collezione, una famiglia di elementi...l'insieme vuoto è un insieme senza elementi, una famiglia priva di membri. Per cui in effetti l'insieme vuoto è un simbolo...se vuoi immaginartelo, pensa a una stanza fatta delle sole pareti, senza dentro nulla. Spesso si sbaglia perchè si dice che l'insieme vuoto è ${0}$...questo non va bene perchè nell'insieme ${0}$ c'è il solo elemento 0. Quindi uno c'è.