Geometria ...divertente
Nel triangolo scaleno ABC si costruiscano sopra i lati
AB e BC i rispettivi quadrati ( vedi figura) di cui siano
M ed N i centri.
Dimostrare che :
OM=ON
MON=90°
dove O e' il punto medio del terzo lato AC.
Ciao.
Risposte
Consideriamo i triangoli ABF e CBD. Essi sono congruenti in quanto AB = BD, BF = CB e perchè gli angoli in B sono congruenti per somma di angoli congruenti. Si ha perciò AF = CD.
Si ha inoltre che AF è perpendicolare a CD. Infatti i due triangoli si sovrappongono con una rotazione di 90° intorno al punto B.
Consideriamo ora i triangoli AFC e ONC. Essi sono simili ed essendo O e N i punti medi dei lati AC e CF si ha AF = 2ON.
Con lo stesso ragionamento sui triangoli ACD e AOM si trova che CD = 2OM, da cui OM = ON.
Essi sono inoltre perpendicolari tra loro in quanto sono paralleli ai lati AF e CD.
Si ha inoltre che AF è perpendicolare a CD. Infatti i due triangoli si sovrappongono con una rotazione di 90° intorno al punto B.
Consideriamo ora i triangoli AFC e ONC. Essi sono simili ed essendo O e N i punti medi dei lati AC e CF si ha AF = 2ON.
Con lo stesso ragionamento sui triangoli ACD e AOM si trova che CD = 2OM, da cui OM = ON.
Essi sono inoltre perpendicolari tra loro in quanto sono paralleli ai lati AF e CD.
quote:
Originally posted by MaMo
Si ha inoltre che AF è perpendicolare a CD. Infatti i due triangoli si sovrappongono con una rotazione di 90° intorno al punto B.
ma vale un passaggio del genere??? beh perchè se vale allora si può dire direttamente che l'angolo MON è perpendicolare perchè i segmenti OM e ON giacciono sulla stessa retta se ruotiamo l'uno o l'altro di 90 gradi...
Ha ragione Mamo.Infatti se eseguiamo la rotazione di 90°
attorno a B,allora BF va su BC,AB su BD e quindi AF su CD
(perche' i due triangoli sono congruenti) e questo
vuol dire che inizialmente AF e CD erano disposti
perpendicolarmente tra loro. C'e' comunque un altro modo
(del tutto equivalente alla rotazione) per dimostrare la
perpendicolarita' di AF e CD.
@giacor86.
Quello che affermi non e' esatto per due motivi:
1) OM e ON non sono sulla stessa retta.
2) l'angolo tra di essi non e' a priori noto
essere di 90°.Al contrario cio' e' proprio
quello che si vuole dimostrare!.
Ciao.
attorno a B,allora BF va su BC,AB su BD e quindi AF su CD
(perche' i due triangoli sono congruenti) e questo
vuol dire che inizialmente AF e CD erano disposti
perpendicolarmente tra loro. C'e' comunque un altro modo
(del tutto equivalente alla rotazione) per dimostrare la
perpendicolarita' di AF e CD.
@giacor86.
Quello che affermi non e' esatto per due motivi:
1) OM e ON non sono sulla stessa retta.
2) l'angolo tra di essi non e' a priori noto
essere di 90°.Al contrario cio' e' proprio
quello che si vuole dimostrare!.
Ciao.
appunto!! mi sa che non mi sono spiegato... non è noto nemmeno a priori che ruotando i 2 triangoli essi si sovrappongono... allora se si può far ruotare a piacere i 2 triangoli, non vedo perchè non si possono far ruotare i 2 segmenti.
ciao!
secondo me AF non è perpendicolare a CD.
forse risulta solo in questo disegno, ma in generale, in altri triangoli scaleni non mi risulta!!
voul dire che siamo di nuovo da capo??
riproviamo!!
ciao
BooTzenN
secondo me AF non è perpendicolare a CD.
forse risulta solo in questo disegno, ma in generale, in altri triangoli scaleni non mi risulta!!
voul dire che siamo di nuovo da capo??
riproviamo!!
ciao
BooTzenN
Poiche' i triangoli DBC e ABF sono congruenti lo sono pure
gli angoli segnati con il numero "1" e poiche' lo sono
anche gli angoli segnati col "2" ne segue che i triangoli
DRB e ARS hanno i tre angoli congruenti e dunque :
ASR=RBD=90° e cio' prova l'assunto.
Ciao.
bella ho capito.
ciao! mamo e archimede hanno ragione AF e CD sono sempre perpendicolari!!
ciao
BooTzenN
ciao
BooTzenN
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