[Geometria] Dimostrazione con punto interno a quadrato
Buonasera a tutti voi matematici!!
Vi chiedo aiuto nello svolgere questa dimostrazione, che dice: "Dimostrare che la somma dei quadrati dei segmenti che uniscono un punto interno di un quadrato con i veritici è doppia della somma dei quadrati delle distanze del punto dai lati.
L'ho impostato, e sono riuscito a dimostrare che, chiamato P il punto interno e T, S, R, Z i piedi delle distanze dai lati del quadrato, il quadrato di PC è equivalente al doppio di quello di PS, e che il quadrato di AP è doppio di quello di AZ. Ma ora non so come fare per le altre due distanze!
Vi chiedo aiuto nello svolgere questa dimostrazione, che dice: "Dimostrare che la somma dei quadrati dei segmenti che uniscono un punto interno di un quadrato con i veritici è doppia della somma dei quadrati delle distanze del punto dai lati.
L'ho impostato, e sono riuscito a dimostrare che, chiamato P il punto interno e T, S, R, Z i piedi delle distanze dai lati del quadrato, il quadrato di PC è equivalente al doppio di quello di PS, e che il quadrato di AP è doppio di quello di AZ. Ma ora non so come fare per le altre due distanze!
Risposte
Non si capisce su che lati si trovano i punti T, S, R e Z. Per non fare confusione li rinomino, così posso darti la soluzione: chiamo E, F, G, H i piedi delle distanze dai lati AB, BC, CD e DA rispettivamente. Allora:
si lavora sui triangoli rettangoli che si ottengono nella figura, col teorema di Pitagora applicato alle 4 ipotenuse PA, PB, PC e PD:
$ PA^2=AE^2+PE^2 $ . Ma AE = PH quindi $ PA^2=PH^2+PE $
Poi: $ PB^2=PE^2+EB^2 $ . Ma EB = PF, quindi $ PB^2=PE^2+PF^2 $
Terzo: $ PC^2=PF^2+CF^2 $ . Ma CF = PG quindi $ PC^2=PF^2+PG^2 $
Ultimo: $ PD^2=PH^2+HD^2 $ . Ma HD = PG quindi $ PD^2=PH^2+PG^2 $ .
A questo punto sommi $ PA^2+PB^2+PC^2+PD^2 $ e cosa trovi?
Ciao!
si lavora sui triangoli rettangoli che si ottengono nella figura, col teorema di Pitagora applicato alle 4 ipotenuse PA, PB, PC e PD:
$ PA^2=AE^2+PE^2 $ . Ma AE = PH quindi $ PA^2=PH^2+PE $
Poi: $ PB^2=PE^2+EB^2 $ . Ma EB = PF, quindi $ PB^2=PE^2+PF^2 $
Terzo: $ PC^2=PF^2+CF^2 $ . Ma CF = PG quindi $ PC^2=PF^2+PG^2 $
Ultimo: $ PD^2=PH^2+HD^2 $ . Ma HD = PG quindi $ PD^2=PH^2+PG^2 $ .
A questo punto sommi $ PA^2+PB^2+PC^2+PD^2 $ e cosa trovi?
Ciao!
Ok perfetto ho capito e sono riuscito a fare tutto =)
Però ho un altro problema, che dice "un triangolo isoscele ha l'area di 108cmq e l'altezza è i $2/3$ della base. Determina il perimetro del triangolo e le altezze relativi ai lati congruenti". Allora, dopo un po' di calcoli sono arrivato al $2p=48 cm$, che è giusto. Ho fatto, per $x=AB$, $108=(x(2/3x))/2 rArr 2/3x^2=216 rArr x=18 cm$. Poi ho calcolato i lati congruenti usando Pitagora e ho calcolato il perimetro. Ora però non riesco ad impostare un'equazione o un sistema o qualcosa del genere per trovare la misura delle altezze hai lati congruenti! Ho provato ad impostare un sistema ma non sono andato da nessuna parte =|
Però ho un altro problema, che dice "un triangolo isoscele ha l'area di 108cmq e l'altezza è i $2/3$ della base. Determina il perimetro del triangolo e le altezze relativi ai lati congruenti". Allora, dopo un po' di calcoli sono arrivato al $2p=48 cm$, che è giusto. Ho fatto, per $x=AB$, $108=(x(2/3x))/2 rArr 2/3x^2=216 rArr x=18 cm$. Poi ho calcolato i lati congruenti usando Pitagora e ho calcolato il perimetro. Ora però non riesco ad impostare un'equazione o un sistema o qualcosa del genere per trovare la misura delle altezze hai lati congruenti! Ho provato ad impostare un sistema ma non sono andato da nessuna parte =|
se prendi un lato obliquo come base, l'area non è la stessa?
Oddio certo che è la stessa l'area, il triangolo non cambia! Mamma mia che vergogna xD
Quindi basta fare l'equazione dove a primo membro c'è 108 che è l'area, e a secondo la metà del prodotto della $x$, cioè l'altezza relativa al lato obliquo, per il lato obliquo, di cui già conosco la dimensione. E mi esce 14,4 cm, che è giusto!
Grazie adaBTTLS e perdona la mia stupidità =)
prego!
non ti preoccupare per certi dubbi che possono venire ...
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