Geometria di base: Teorema di angoli supplementari

[Stillife]

Salve amici,

Il libro che sto studiando dopo aver dimostrato il teorema secondo cui Angoli opposti al vertice sono congruenti, mi chiede di dimostrare quello secondo cui Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti, dunque mi piacerebbe sapere se ciò che propongo è corretto.

Innanzi tutto il disegno:




Ora pongo la tesi:

- $COB ~= C'O'B'$


Adesso l'ipotesi:

$pi$ è l'angolo piatto, quindi:

- $AOB+COB= pi$

- $A'O'B'+C'O'B'=pi$

-$AOB ~= A'O'B'$

Per dimostrare parto dal fatto che

$pi - AOB= COB $

$pi - A'O'B'= C'O'B' '$

Come da ipotesi $AOB ~= A'O'B'$, dunque $COB ~= C'O'B'$

Qui sarebbe finita ma mi sembra che ci sia un "salto" nella dimostrazione, ovvero mi sembrerebbe più completa se potessi porre nell'ipotesi anche il fatto che i due angoli piatti $pi$ sono uguali. È possibile farlo?

[HowardRoark]

Per ipotesi hai che $A\hatOB = A'\hatO'B'$. Come giustamente hai scritto $A\hatOB + C\hatOB = pi$ e $A'\hatO'B' +C'\hatO'B'= pi$. E allora $A\hatOB +C\hatOB = A'\hatO'B' +C'\hatO'B' <=> C\hatOB = C'\hatO'B'$.

Molto semplice la dimostrazione

[Stillife]

Grazie HowardRoark per la risposta!

Ma con ciò che hai scritto il mio dubbio permane; non trovi che affinchè la mia dimostrazione e la tua siano corrette non dovremmo porre fra le ipotesi che $pi ≅ pi$, ovvero che i due $pi$ abbiano la stessa grandezza allo stesso modo di come abbiamo posto $ A\hatOB ≅ A'\hatO'B' $ ?

[HowardRoark]

No perché il radiante non dipende dalla circonferenza considerata, ma solo dall'angolo che sottende l'arco (ipotizzando di disegnare una circonferenza immaginaria di raggio $OA$ o $O'A'$). Quindi può anche essere $OA$ diverso da $O'A'$.

[axpgn]

Quando dimostri un teorema tra le ipotesi ci metti una marea di ipotesi implicite anche se non ti sembra (per esempio la costruzione dei numeri reali).
Se così non fosse, tra le ipotesi, ogni volta, dovresti metterci tutta la matematica dalla prima elementare.

Cordialmente, Alex

[@melia]

Il $pi$ di Stillife non si riferisce al concetto di radiante, ma al nome che nei testi di geometria elementare viene dato all'angolo piatto. Poi le due cose si equivalgono, ma il concetto è ancora più semplice. Gli angoli piatti sono tutti tra loro congruenti.

[Stillife]

Grazie Alex.

Ho trovato questa spiegazione:

https://shop.matematicamente.it/seconda ... uenti.html

Procede come ho fatto io e specifica in particolare che "tutti gli angoli piatti sono congruenti", dunque proprio l'"elemento" che mi mancava, ma sono confuso.

Dire "tutti gli angoli piatti sono congruenti" è come dire "tutte le rette sono congruenti"? Ma che significa ciò?

Posso considerare per esempio due rette $r$ ed $s$ di diversa lunghezza ma congruenti in quanto si estendono all'infinito?

[@melia]

No, non è la stessa cosa. L'angolo piatto è definito come la parte di piano compresa tra due semirette opposte, che hanno la stessa retta sostegno.

[mgrau]

Se non sbaglio, uno dei postulati di Euclide è : tutti gli angoli retti sono congruenti

[Stillife]

Grazie per la risposta Melia, ciò che dici è chiaro, ma perchè "tutti gli angoli piatti sono congruenti"?

Non riesco ad immaginarmi ciò per lo stesso motivo per cui non mi immagino che "tutte le rette sono congruenti".

[@melia]

Ho sbagliato a dirti di no. Chiaro che tutte le rette sono congruenti (sovrapponibili), come lo sono tutti gli angoli piatti. Volevo sottolineare il fatto che gli angoli, anche quelli piatti, sono altro.

[Stillife]

Se $r$ ed $s$ sono due rette di diversa lunghezza, per esempio $r=n$ e $s=2n$, esse sono congruenti per il fatto che, aldilà della contingenza da me supposta, sono estendibili all'infinito nella "realtà matematica" ?

Perchè nel caso da me preso non sono, per definizione, congruenti, cioè perfettamente sovrapponibili.

Questo è ciò che non capisco.

[axpgn]

"Stillife":Se $r$ ed $s$ sono due rette di diversa lunghezza, per esempio $r=n$ e $s=2n$, ...

Queste non sono rette ma segmenti, tutte le rette hanno una "lunghezza" infinita.