[geometria] circonferenza e tangenti, dimostrazione
Nell'immagine seguente vi è una circonferenza di centro A e raggio AF e C è punto esterno alla circonferenza e la sua distanza dal centro è il doppio del raggio, ovvero $AC = 2*AF$
Da C si tracciano le tangenti alla circonferenza che la intersecano nei punti D ed E. Si dimostri che ADFE è un rombo e si calcoli l'ampiezza dei suo angoli.
Tutto il problema credo che stia nel dimostrare che se AC è il doppio del raggio allora DE è asse del segmento AF. Infatti allontanando o avvicinando C dalla circonferenza il segmento DE si sposta a sinistra o a destra di AF e non è più il suo asse, almenochè AC non sia il doppio del raggio.
Una volta dimostrato questo, chiamato H il punto di intersezione tra DE ed AF, i triangoli ADH e DHF diventano congruenti (angolo congruente e lati che lo formano congruenti) e la stessa cosa per i due triangolini sotto (AHE e EHF) e siccome AD=AE perchè entrambi raggi, per la proprietà transitiva i quattro lati sono tutti uguali.
Se DE è asse di AF, allora DE biseca l'angolo in D. L'angolo alla circonferenza EDF è la metà dell'angolo EAF, e quindi l'angolo in A, che è il doppio dell'angolo EAF perchè il segmento che congiunge C ed O biseca l'angolo formato dai raggi è il doppio dell'angolo in D. Siccome la somma degli angoli interni di un quadrilatero non può che essere di 360 gradi, deve per forza essere D=E=120° e A=F=60°.
Solo che non so come dimostrare che DE è asse di AF e vorrei un suggerimento a proposito. Inoltre il ragionamento precedente è giusto o no? Ne esistono di più immediati?
Grazie!
EDIT: ho sistemato l'immagine che mi sembrava troppo grande.
Da C si tracciano le tangenti alla circonferenza che la intersecano nei punti D ed E. Si dimostri che ADFE è un rombo e si calcoli l'ampiezza dei suo angoli.
Tutto il problema credo che stia nel dimostrare che se AC è il doppio del raggio allora DE è asse del segmento AF. Infatti allontanando o avvicinando C dalla circonferenza il segmento DE si sposta a sinistra o a destra di AF e non è più il suo asse, almenochè AC non sia il doppio del raggio.
Una volta dimostrato questo, chiamato H il punto di intersezione tra DE ed AF, i triangoli ADH e DHF diventano congruenti (angolo congruente e lati che lo formano congruenti) e la stessa cosa per i due triangolini sotto (AHE e EHF) e siccome AD=AE perchè entrambi raggi, per la proprietà transitiva i quattro lati sono tutti uguali.
Se DE è asse di AF, allora DE biseca l'angolo in D. L'angolo alla circonferenza EDF è la metà dell'angolo EAF, e quindi l'angolo in A, che è il doppio dell'angolo EAF perchè il segmento che congiunge C ed O biseca l'angolo formato dai raggi è il doppio dell'angolo in D. Siccome la somma degli angoli interni di un quadrilatero non può che essere di 360 gradi, deve per forza essere D=E=120° e A=F=60°.
Solo che non so come dimostrare che DE è asse di AF e vorrei un suggerimento a proposito. Inoltre il ragionamento precedente è giusto o no? Ne esistono di più immediati?
Grazie!
EDIT: ho sistemato l'immagine che mi sembrava troppo grande.
Risposte
Il triangolo ADC è rettangolo in D, con l'ipotenusa AC doppia del cateto AD.
In tal caso l'angolo in C (ACD) è di 30° e l'angolo in A (CAD) di 60°, con la mediana DF che è la metà dell'ipotenusa (da cui il rombo).
In tal caso l'angolo in C (ACD) è di 30° e l'angolo in A (CAD) di 60°, con la mediana DF che è la metà dell'ipotenusa (da cui il rombo).
Se ho ben capito, dal fatto che AC=2*AD hai ricavato che l'angolo in A è il doppio dell'angolo in C. E poi da là, considerando che la somma degli angoli interni è 180°, e l'altro angolo (quello in D) è noto, si racava che l'angolo in C è di 30° e l'angolo in A di 60°.
Come hai fatto a ricavare una relazione tra gli angoli a partire da una relazione tra i lati? Usando concetti che si studiano in seconda liceo, quindi niente teorema dei seni ecc... Oppure, se ho capito male, potresti spiegare come hai fatto?
Come hai fatto a ricavare una relazione tra gli angoli a partire da una relazione tra i lati? Usando concetti che si studiano in seconda liceo, quindi niente teorema dei seni ecc... Oppure, se ho capito male, potresti spiegare come hai fatto?
"raffamaiden":
Se ho ben capito, dal fatto che AC=2*AD hai ricavato che l'angolo in A è il doppio dell'angolo in C
Non proprio. Il triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60° è un caso particolare che in genere si studia al biennio.
Per tale triangolo risulta l'ipotenusa doppia del cateto minore e la mediana metà dell'ipotenusa.
Avendo notato che l'ipotenusa è doppia del cateto, ho intuito il triangolo con cui abbiamo a che fare.
Sul tuo libro dovrebbe essere senz'altro trattato questo triangolo particolare, con i risultati che ho usato.
Forse non l'avete ancora studiato?
Nei miei vecchi libri di geometria del liceo questo tipo di triangolo non viene trattato (in realtà sto aiutando un amico che è in seconda, io il liceo purtroppo l'ho finito). L'ho trovato su wikipedia ma non da un accenno di dimostrazione, si limita a dire le formule e le relazioni così per come sono.
Visto che lo devo spiegare, dato che AD è la metà di AC per ipotesi, come si fa a dimostrare che AF è la metà di AC? Io ho abbozzato una dimostrazione ma come al solito mi sembra molto laboriosa ........
Visto che lo devo spiegare, dato che AD è la metà di AC per ipotesi, come si fa a dimostrare che AF è la metà di AC? Io ho abbozzato una dimostrazione ma come al solito mi sembra molto laboriosa ........
Mi spiego meglio (prendo il tuo disegno come esempio) .... la mia dimostrazione parte dall'avere i tre angoli del triangolo noti (90° - 30° - 60°). All'angolo in D di 90° ne sottraiamo 30° ottenendo l'angolo ADF di 60° il cui secondo lato (DF) così tracciato interseca AC. Come si dimostra che DF è mediana di AC?
Se invece iniziamo la dimostrazione tracciando la mediana di AC (e quindi AC=2AF per definizione), poi dobbiamo dimostrare che l'angolo ADF è di 60° (o in maniera equivalente che DF=AD)... come si fa?
Se invece iniziamo la dimostrazione tracciando la mediana di AC (e quindi AC=2AF per definizione), poi dobbiamo dimostrare che l'angolo ADF è di 60° (o in maniera equivalente che DF=AD)... come si fa?
"raffamaiden":
Mi spiego meglio (prendo il tuo disegno come esempio) .... la mia dimostrazione parte dall'avere i tre angoli del triangolo noti (90° - 30° - 60°). All'angolo in D di 90° ne sottraiamo 30° ottenendo l'angolo ADF di 60° il cui secondo lato (DF) così tracciato interseca AC. Come si dimostra che DF è mediana di AC?
Bene così. Come risulta il triangolo ADF ? E il triangolo CDF ? ...
Il triangolo ADF ha l'angolo in A di 60° per ipotesi e l'angolo in D di 60° per costruzione, siccome la somma degli angoli interni deve essere di 180° allora anche l'angolo AFD deve essere di 60°, quindi il triangolo è equilatero e quindi ha i lati uguali e quindi AF=AD. Il triangolo DFC è ottusangolo, ha l'angolo DFC di 120° e sui suoi lati possiamo solo dire che DF=AD. Però su FC non possiamo dire nulla, dato che ancora NON sappiamo che AC=2*AD, è proprio quello che dobbiamo dimostrare (siamo partiti da un triangolo avente tre angoli noti, non abbiamo fatto ipotesi sui lati)
Però pensandoci bene il triangolo FDC ha l'angolo FDC di 30° per costruzione (è l'angolo che avevamo sottrato noi arbitrariamente per ottenere l'angolo di 60° ADF) e l'angolo ACD è di 30° per ipotesi, ma se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele e ha per base il lato comune ai due angoli. Quindi deve essere DF=FC e siccome AD=DF (vedi sopra) per la proprietà transitiva FC=AD. Quindi DF ha diviso il lato AC in due parti congruenti e quindi non può che intersecare lo stesso nel punto medio.
E' giusto?
E' giusto?
"raffamaiden":
Il triangolo ADF ha l'angolo in A di 60° per ipotesi e l'angolo in D di 60° per costruzione, siccome la somma degli angoli interni deve essere di 180° allora anche l'angolo AFD deve essere di 60°, quindi il triangolo è equilatero e quindi ha i lati uguali e quindi AF=AD.
Si: AF=AD=DF (equilatero)
"raffamaiden":
Il triangolo DFC è ottusangolo, ha l'angolo DFC di 120° e sui suoi lati possiamo solo dire che DF=AD.
Che c'entra il lato AD col triangolo DFC ?
Dato che l'angolo DCF è di 30° per ipotesi e l'angolo FDC è di 30° per costruzione, possiamo dire che il triangolo DFC è isoscele sulla base DC, quindi:
DF=FC
Quindi abbiamo che: AF=AD=DF=FC
Ci sei ?
EDIT: OK, non avevo visto il tuo ultimo post
ok ho capito. Grazie per la pazienza!!! 
"raffamaiden":
ok ho capito. Grazie per la pazienza!!!
Prego, figurati.
Mi sento di dovere aggiungere una precisazione.
In qualsiasi triangolo rettangolo (non solo 30-60-90), la mediana relativa all'ipotenusa è la metà dell'ipotenusa stessa, come puoi intuire dalla seguente figura:
Il triangolo rettangolo 30-60-90 invece ha in particolare il cateto minore uguale alla metà dell'ipotenusa (come abbiamo dimostrato prima coi due triangoli equilatero e isoscele). L'altro cateto, per il teorema di Pitagora, risulta quindi $sqrt(3)/2$ per l'ipotenusa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo