Geometria analitica:parabola

[desukan]

Salve a tutti non riesco a fare un esercizio sulla parabola e vorrei che qualcuno mi spiegasse come fare e mi faccia vedere come si svolge

ecco l'esercizio:scrivere l'equazione della parabola y=ax2+bx+c di vertice (-1;4) e passante per il punto(-3;3).dal punto A(0;5) condurre le tangenti alla parabola nei punti B e C e trovare perimetro e area del triangolo ABC.
grazie in anticipo spero possiate essermi d'aiuto :D

[ciampax]

Ti dico come procedere: i conti puoi farli da solo. Allora, per la determinazione dell'equazione, osserva che sia il vertice che il punto dato appartengono alla parabola: questo implica che le loro coordinate soddisfano la sua equazione. Per cui

[math]4=a-b+c,\qquad 3=9a-3b+c[/math]

Inoltre, dal momento che le coordinate generiche del vertice sono

[math]V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math]

puoi anche scrivere che

[math]-\frac{b}{2a}=-1\ \Rightarrow\ b=2a[/math]

.

Risolvendo allora il sistema con le tre equazioni

[math]4=a-b+c,\qquad 3=9a-3b+c,\qquad b=2a[/math]

trovi le soluzioni

[math]a=-\frac{1}{4},\ b=-\frac{1}{2},\ c=\frac{15}{4}[/math]

, per cui la parabola ha equazione

[math]y=-\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}+\frac{15}{4}[/math]

Per trovare le tangenti, considera il fascio di rette passante per

[math]A[/math]

: la sua equazione è

[math]y-5=m(x-0)\ \Rightarrow\ y=mx+5[/math]

Ponendo a sistema l'equazione di questo fascio e quella della parabola ottieni

[math]mx+5=-\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}+\frac{15}{4}\ \Rightarrow\ x^2+2(2m+1)x+5=0[/math]

e affinché le rette risultino tangenti, devi avere che il discriminante di tale equazione si annulli, per cui

[math]4(2m+1)^2-20=0\ \Rightarrow\ 4m^2+4m-4=0\ m=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}[/math]

Con tale scelta di

[math]m[/math]

si ottengono le soluzioni per

[math]x[/math]

[math]x=-\frac{2(2m+1)}{2}=-\frac{\pm2\sqrt{5}}{2}=\mp\sqrt{5}[/math]

da cui si hanno le coordinate dei punti (basta sostituire nell'equazione della parabola o della retta)

[math]B\left(-\sqrt{5},\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right),\qquad C\left(\sqrt{5},\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)[/math]

Per determinare il perimetro del triangolo basta calcolare le lunghezze dei lati: si ha, usando la formula

[math]P_1P_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}[/math]

[math]AB=\frac{1}{2}\sqrt{50-10\sqrt{5}},\qquad AC=\frac{1}{2}\sqrt{50+10\sqrt{5}},\qquad BC=5[/math]

per cui

[math]p=\frac{1}{2}\sqrt{50-10\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{50+10\sqrt{5}}+5[/math]

.

Per l'area, osserva che i lati

[math]AB,\ AC[/math]

sono perpendicolari: infatti si ha, moltiplicando tra loro i due coefficienti angolari trovati prima,

[math]\frac{-1\+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{-1\-\sqrt{5}}{2}=\frac{1-5}{4}=-1[/math]

che è la condizione di perpendicolarità tra rette

[math]m\cdot m'=-1[/math]

. Pertanto l'area è

[math]\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{1}{8}\sqrt{2500-500}=\frac{20\sqrt{5}}{8}=\frac{5\sqrt{5}}{2}[/math]

.

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