Geometria analitica:formula area triangolo.
Ciao a tutti!
Ieri ho provato a svolgere un certo esercizio di geometria analitica che prevede di trovare l'area del triangolo con certi dati a disposizione, ma senza riuscirci. L'esercizio è facilmente risolvibile con una nota formula per l'area del triangolo che non conoscevo:
$A(ABC)=1/2|x_{1}y_{2}+x_{3}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}|$
Siccome non mi piace usare formule preconfezionate per risolvere problemi senza conoscerne la dimostrazione, ho voluto provare a dimostrarla, ma senza successo. L'approccio da me usato è il seguente:
disegno un generico triangolo con coordinate generiche e lo inscrivo in un rettangolo
dunque calcolo $A(ABC)=A(EDCF)-A(BDC)-A(BEA)-A(AFC)$
la formula che ottengo non va bene. Se avessi invece considerato questo caso (una dimostrazione trovata in rete):
e calcolato $A(ABC)=A(DBAE)+A(EACF)-A(DBCF)$, avrei ottenuto la formula.
Come mai il primo approccio è sbagliato?
Ieri ho provato a svolgere un certo esercizio di geometria analitica che prevede di trovare l'area del triangolo con certi dati a disposizione, ma senza riuscirci. L'esercizio è facilmente risolvibile con una nota formula per l'area del triangolo che non conoscevo:
$A(ABC)=1/2|x_{1}y_{2}+x_{3}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}|$
Siccome non mi piace usare formule preconfezionate per risolvere problemi senza conoscerne la dimostrazione, ho voluto provare a dimostrarla, ma senza successo. L'approccio da me usato è il seguente:
disegno un generico triangolo con coordinate generiche e lo inscrivo in un rettangolo
dunque calcolo $A(ABC)=A(EDCF)-A(BDC)-A(BEA)-A(AFC)$
la formula che ottengo non va bene. Se avessi invece considerato questo caso (una dimostrazione trovata in rete):
e calcolato $A(ABC)=A(DBAE)+A(EACF)-A(DBCF)$, avrei ottenuto la formula.
Come mai il primo approccio è sbagliato?
Risposte
Avrai sbagliato qualche conto 
prova a postare i risultati intermedi, li si controlla.
prova a postare i risultati intermedi, li si controlla.
Meglio porre:
$x_A=x_1$
$x_B=x_2$
$x_C=x_3$
$y_A=y_1$
$y_B=y_2$
$y_C=y_3$
$A(ABC)=|(x_3-x_2)(y_3-y_1)|-|(x_3-x_2)(y_3-y_2)|/2-|(x_1-x_2)(y_2-y_1)|/2-|(x_3-x_1)(y_3-y_1)|/2$
$2A(ABC)=2|(x_3-x_2)(y_3-y_1)|-|(x_3-x_2)(y_3-y_2)|-|(x_1-x_2)(y_2-y_1)|-|(x_3-x_1)(y_3-y_1)|$
$2A(ABC)=2x_3y_3-2x_3y_1-2x_2y_3+2x_2y_1-x_3y_3+x_3y_2+x_2y_3-x_2y_2-y_2x_1+y_1x_1+x_2y_2-x_2y_1-x_3y_3+x_3y_1+y_3x_1-y_1x_1$
$2A(ABC)=x_3y_2-x_2y_3-y_2x_1+x_2y_1-x_3y_1+y_3x_1$
$A(ABC)=1/2|x_3y_2-x_2y_3-y_2x_1+x_2y_1-x_3y_1+y_3x_1|$
Ho svolto i calcoli con calcolatore.
Insomma mi ero confuso con i calcoli e anche se i segni mi risultano opposti è irrilevante in quanto è in valore assoluto.
Grazie 413 per la risposta!
$x_A=x_1$
$x_B=x_2$
$x_C=x_3$
$y_A=y_1$
$y_B=y_2$
$y_C=y_3$
$A(ABC)=|(x_3-x_2)(y_3-y_1)|-|(x_3-x_2)(y_3-y_2)|/2-|(x_1-x_2)(y_2-y_1)|/2-|(x_3-x_1)(y_3-y_1)|/2$
$2A(ABC)=2|(x_3-x_2)(y_3-y_1)|-|(x_3-x_2)(y_3-y_2)|-|(x_1-x_2)(y_2-y_1)|-|(x_3-x_1)(y_3-y_1)|$
$2A(ABC)=2x_3y_3-2x_3y_1-2x_2y_3+2x_2y_1-x_3y_3+x_3y_2+x_2y_3-x_2y_2-y_2x_1+y_1x_1+x_2y_2-x_2y_1-x_3y_3+x_3y_1+y_3x_1-y_1x_1$
$2A(ABC)=x_3y_2-x_2y_3-y_2x_1+x_2y_1-x_3y_1+y_3x_1$
$A(ABC)=1/2|x_3y_2-x_2y_3-y_2x_1+x_2y_1-x_3y_1+y_3x_1|$
Ho svolto i calcoli con calcolatore.
Insomma mi ero confuso con i calcoli e anche se i segni mi risultano opposti è irrilevante in quanto è in valore assoluto.
Grazie 413 per la risposta!
A me sembra corretto, dimmi cosa non ti torna.
Lo sai che
E se non lo sai, ti è intuitivamente chiaro perché l'identità è vera?
Lo sai che
[tex]\lvert x\rvert = \lvert -x\rvert?[/tex]
E se non lo sai, ti è intuitivamente chiaro perché l'identità è vera?
Scusa, ho modificato senza vedere il tuo messaggio...grazie ancora.
A posto 
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