Geometria analitica:formula area triangolo.

Stillife
Ciao a tutti!

Ieri ho provato a svolgere un certo esercizio di geometria analitica che prevede di trovare l'area del triangolo con certi dati a disposizione, ma senza riuscirci. L'esercizio è facilmente risolvibile con una nota formula per l'area del triangolo che non conoscevo:

$A(ABC)=1/2|x_{1}y_{2}+x_{3}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}|$

Siccome non mi piace usare formule preconfezionate per risolvere problemi senza conoscerne la dimostrazione, ho voluto provare a dimostrarla, ma senza successo. L'approccio da me usato è il seguente:

disegno un generico triangolo con coordinate generiche e lo inscrivo in un rettangolo



dunque calcolo $A(ABC)=A(EDCF)-A(BDC)-A(BEA)-A(AFC)$

la formula che ottengo non va bene. Se avessi invece considerato questo caso (una dimostrazione trovata in rete):



e calcolato $A(ABC)=A(DBAE)+A(EACF)-A(DBCF)$, avrei ottenuto la formula.

Come mai il primo approccio è sbagliato?

Risposte
4131
Avrai sbagliato qualche conto ;) prova a postare i risultati intermedi, li si controlla.

Stillife
Meglio porre:

$x_A=x_1$

$x_B=x_2$

$x_C=x_3$

$y_A=y_1$

$y_B=y_2$

$y_C=y_3$

$A(ABC)=|(x_3-x_2)(y_3-y_1)|-|(x_3-x_2)(y_3-y_2)|/2-|(x_1-x_2)(y_2-y_1)|/2-|(x_3-x_1)(y_3-y_1)|/2$

$2A(ABC)=2|(x_3-x_2)(y_3-y_1)|-|(x_3-x_2)(y_3-y_2)|-|(x_1-x_2)(y_2-y_1)|-|(x_3-x_1)(y_3-y_1)|$

$2A(ABC)=2x_3y_3-2x_3y_1-2x_2y_3+2x_2y_1-x_3y_3+x_3y_2+x_2y_3-x_2y_2-y_2x_1+y_1x_1+x_2y_2-x_2y_1-x_3y_3+x_3y_1+y_3x_1-y_1x_1$

$2A(ABC)=x_3y_2-x_2y_3-y_2x_1+x_2y_1-x_3y_1+y_3x_1$

$A(ABC)=1/2|x_3y_2-x_2y_3-y_2x_1+x_2y_1-x_3y_1+y_3x_1|$

Ho svolto i calcoli con calcolatore.

Insomma mi ero confuso con i calcoli e anche se i segni mi risultano opposti è irrilevante in quanto è in valore assoluto.

Grazie 413 per la risposta!

4131
A me sembra corretto, dimmi cosa non ti torna.

Lo sai che
[tex]\lvert x\rvert = \lvert -x\rvert?[/tex]

E se non lo sai, ti è intuitivamente chiaro perché l'identità è vera?

Stillife
Scusa, ho modificato senza vedere il tuo messaggio...grazie ancora.

4131
A posto :smt023

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