Geometria analitica vari punti
problemi di geometria analica..
1)Geometria analiticaaaaaaaaaaaaa parabolaaaaaaaaaaaaaaaa :S data la parabola y=x^2-10x+16 che incontra l'asse x? in A e B , determinare le coordinate del punto P della parabola in cui la tangente è parallela alla retta y=2x .
2) La parabola di equazione y=1/2 x^2 +2x incontra l'asse x nell'origine O e nel punto A . Scrivere l'equazione?
della circonferenza tangente alla parabola nei punti O e A
3)Geometria analitica nn capisco questa piccola richiesta una parabola y = x^2-1 interseca?
l'asse x nei punti A e B; scrivere l'equazione della circonferenza tangente in A e in B alla parabola.
nn capisco questi punti...
1)Geometria analiticaaaaaaaaaaaaa parabolaaaaaaaaaaaaaaaa :S data la parabola y=x^2-10x+16 che incontra l'asse x? in A e B , determinare le coordinate del punto P della parabola in cui la tangente è parallela alla retta y=2x .
2) La parabola di equazione y=1/2 x^2 +2x incontra l'asse x nell'origine O e nel punto A . Scrivere l'equazione?
della circonferenza tangente alla parabola nei punti O e A
3)Geometria analitica nn capisco questa piccola richiesta una parabola y = x^2-1 interseca?
l'asse x nei punti A e B; scrivere l'equazione della circonferenza tangente in A e in B alla parabola.
nn capisco questi punti...
Risposte
1)
l'asse x ha equazione y=0
i punti A e B pertanto saranno i punti di intersezione tra la retta e la parabola, quindi
Da cui sostituendo
(ho usato somma e prodotto, ma con la formula e' la stessa ;) )
i punti saranno
A(2,0) B(8,0)
tutte le rette parallele alla retta y=2x, sono della forma
Calcoliamo i punti di intersezione (generici) tra le rette del fascio improprio e la parabola
Per confronto
risolvendo l'equazione di secondo grado, troviamo le ascisse dei punti di intersezione.
Dal momento che vogliamo che pero' la retta sia tangente, questi due punti devono coincidere e pertanto l'equazione deve dare non due ascisse diverse, ma due ascisse coincidenti.
La soluzione di un'equazione di secondo grado restituisce due valori coincidenti quando il delta e' = 0.
Il delta e'
e dovra' essere, per quanto detto prima, uguale a zero.
Quindi
La retta tangente sara' dunque y=2x-20
e il punto P sara'dunque l'intersezione tra la retta e la parabola, ovvero, sostituendo all'equazione di sopra (con q), la soluzione dell'equazione
e l'ordinata dunque
se e' chiaro passiamo al secondo
l'asse x ha equazione y=0
i punti A e B pertanto saranno i punti di intersezione tra la retta e la parabola, quindi
[math] \{y=0 \\ y=x^2-10x+16 [/math]
Da cui sostituendo
[math] x^2-10x+16=0 \to (x-8 )(x-2)=0 \to x_1=2 \cup x_2=8 [/math]
(ho usato somma e prodotto, ma con la formula e' la stessa ;) )
i punti saranno
A(2,0) B(8,0)
tutte le rette parallele alla retta y=2x, sono della forma
[math] y=2x+q [/math]
Calcoliamo i punti di intersezione (generici) tra le rette del fascio improprio e la parabola
[math] \{y=2x+q \\ y=x^2-10x+16 [/math]
Per confronto
[math] 2x+q=x^2-10x+16 \to x^2-12x+16-q=0 [/math]
risolvendo l'equazione di secondo grado, troviamo le ascisse dei punti di intersezione.
Dal momento che vogliamo che pero' la retta sia tangente, questi due punti devono coincidere e pertanto l'equazione deve dare non due ascisse diverse, ma due ascisse coincidenti.
La soluzione di un'equazione di secondo grado restituisce due valori coincidenti quando il delta e' = 0.
Il delta e'
[math] \Delta=b^2-4ac \to \Delta = (-12)^2-4(16-q) [/math]
e dovra' essere, per quanto detto prima, uguale a zero.
Quindi
[math] 144-4(16-q)=0 \to 4(36-16+q)=0 \to q=-20 [/math]
La retta tangente sara' dunque y=2x-20
e il punto P sara'dunque l'intersezione tra la retta e la parabola, ovvero, sostituendo all'equazione di sopra (con q), la soluzione dell'equazione
[math] x^2-12x+16+20=0 \to x^2-12x+36=0 \to \\ \to (x-6)^2=0 \to x=6 [/math]
e l'ordinata dunque
[math] y=2x-20 \to y=12-20=-8 [/math]
[math] P(6,-8 ) [/math]
se e' chiaro passiamo al secondo
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