Geometria analitica trova equazione circonferenzaaaa (216803)

[mariaelenasusi.ms]

problema di geometria analiticaaaa
trova l'equazione della circonferenza di corda 2 radice di 2 sulla retta x+y-2=0 passante per p(-1 1) e per l'origine

[mc2]

Circonferenza generica:

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

Deve passare per O(0,0):

[math]c=0[/math]

Deve passare per P(-1,1):

[math]1+1-a+b=0[/math]

,

[math]b=a-2[/math]

La circonferenza ora e`:

[math]x^2+y^2+ax+(a-2)y=0[/math]

Intersezioni con retta x+y-2=0:

[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2+ax+(a-2)y=0 \\
y=2-x\end{array}\right.
[/math]

[math]x^2+(2-x)^2+ax+(a-2)(2-x)=0[/math]

[math]x^2+4-4x+x^2+ax+2a-ax-4+2x=0[/math]

[math]2x^2-2x+2a=0[/math]

[math]x^2-x+a=0[/math]

[math]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-4a}}{2}[/math]

Quindi i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta sono A e B, di coordinate:

[math]
A:~~~~~\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2} \\
y=2-x=2-\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}=\frac{3+\sqrt{1-4a}}{2}
\end{array}\right.[/math]

[math]
B:~~~~~\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2} \\
y=2-x=2-\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}=\frac{3-\sqrt{1-4a}}{2}
\end{array}\right.[/math]

Distanza AB:

[math]AB=\sqrt{(\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}-\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2})^2+
(\frac{3-\sqrt{1-4a}}{2}-\frac{3+\sqrt{1-4a}}{2})^2}=
[/math]

[math]=\sqrt{(\sqrt{1-4a})^2+(\sqrt{1-4a})^2}=\sqrt{2(1-4a)}[/math]

e deve essere uguale a

[math]2\sqrt{2}[/math]

:

[math]\sqrt{2(1-4a)}=2\sqrt{2}[/math]

[math]1-4a=4[/math]

[math]a=-\frac{3}{4}[/math]

,

[math]b=a-2=-\frac{11}{4}[/math]

La circonferenza richiesta e`:

[math]x^2+y^2-\frac{3}{4}x-\frac{11}{4}y=0[/math]

[math]4x^2+4y^2-3x-11y=0[/math]