Geometria analitica: rette, punti, condizioni
Ciao a tutti 
Purtroppo mi devo rivolgere a voi per questo problema, ecco il testo:
"In un triangolo di vertici $A(0;5)$, $B(3;-1)$ e $C(6;3)$ conduci da un punto $P$ del lato $AB$ la retta parallela al lato $BC$ fino a incontrare il lato $AC$ nel punto $Q$. Quali coordinate deve avere $P$ affinché le aree dei triangoli $PAQ$ e $BAC$ stiano fra loro come 4 sta a 9?"
Conosciamo quindi:
$A(0;5)$
$B(3;-1)$
$C(6;3)$
$PQ||BCrarr m_(PQ) =m_(BC) $
Punto medio $M$ di $BC$ (se servisse): $(9/2;1)$
Calcolo le equazioni di tutte le rette:
$BC$: $y=4/3x-5$
$AB$: $y=-2x+5$
$AC$: $y=-1/3x+5$
$AM$: $y=-8/9+5$
Per cui ricavo che:
$P(x;-2x+5)$
$Q(x;-1/3x+5)$
Punto di intersezione fra $AM$ e $PQ$: $H(x;-8/9+5)$
Ora quello che dovrei fare per trovare i valori di $P$ e $Q$ tali che le proporzioni fra le aree siano rispettate dovrebbe essere impostare una equazione, ma non riesco a farlo...
Nel senso che impostando equazioni di aree in 2 nanosecondi il tutto si trasforma in calcoli su più righe e con troppe variabili...cosa sto sbagliando?
Come dovrei impostarla? Cosa dovrei seguire come linea guida per tutti questi tipi di problemi?
Purtroppo mi devo rivolgere a voi per questo problema, ecco il testo:
"In un triangolo di vertici $A(0;5)$, $B(3;-1)$ e $C(6;3)$ conduci da un punto $P$ del lato $AB$ la retta parallela al lato $BC$ fino a incontrare il lato $AC$ nel punto $Q$. Quali coordinate deve avere $P$ affinché le aree dei triangoli $PAQ$ e $BAC$ stiano fra loro come 4 sta a 9?"
Conosciamo quindi:
$A(0;5)$
$B(3;-1)$
$C(6;3)$
$PQ||BCrarr m_(PQ) =m_(BC) $
Punto medio $M$ di $BC$ (se servisse): $(9/2;1)$
Calcolo le equazioni di tutte le rette:
$BC$: $y=4/3x-5$
$AB$: $y=-2x+5$
$AC$: $y=-1/3x+5$
$AM$: $y=-8/9+5$
Per cui ricavo che:
$P(x;-2x+5)$
$Q(x;-1/3x+5)$
Punto di intersezione fra $AM$ e $PQ$: $H(x;-8/9+5)$
Ora quello che dovrei fare per trovare i valori di $P$ e $Q$ tali che le proporzioni fra le aree siano rispettate dovrebbe essere impostare una equazione, ma non riesco a farlo...
Nel senso che impostando equazioni di aree in 2 nanosecondi il tutto si trasforma in calcoli su più righe e con troppe variabili...cosa sto sbagliando?
Come dovrei impostarla? Cosa dovrei seguire come linea guida per tutti questi tipi di problemi?
Risposte
in poligoni simili le aree stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi lati
Ti darei questi suggerimento:
1) mi sembra tutto OK fino a quando ricavi i valori delle coordinate di P e Q... bene per P ma Q non ha certo quelle coordinate... attento che le coordinate di P sono in realtà $ P (t; -2t+5) $
2) a questo punto calcolerei la equazione della retta PQ sapendo che è parallela a BC è molto semplice ti viene fuori una fuinzione di $ t $
3) Ora calcoli le coordinate di Q sempre in funzione di $ t $
4) A questo punto passi a determinare la retta AH (e non AM) dove H è l'altezza relativa al lato BC del triangolo grande... sono due passaggi è molto semplice a me viene $ y = -3/4 x + 5 $
5) Adesso vai con le coordinate di H e H' che sarebbe l'altezza relativa al triangolo piccolo, cioè intersezione tra retta AH e retta PQ
6) Hai base e altezza del triangolo piccolo e grande fai il rapporto e ottieni un valore di t
Tutto quanto ho scritto è la prosecuzione della tua idea di risoluzione.
In realtà sarebbe più semplice considerare che i due triangoli sono simili quindi il rapporto tra le due aree è auguale al rapporto tra i quadrati di BC e PQ... ciao!!
1) mi sembra tutto OK fino a quando ricavi i valori delle coordinate di P e Q... bene per P ma Q non ha certo quelle coordinate... attento che le coordinate di P sono in realtà $ P (t; -2t+5) $
2) a questo punto calcolerei la equazione della retta PQ sapendo che è parallela a BC è molto semplice ti viene fuori una fuinzione di $ t $
3) Ora calcoli le coordinate di Q sempre in funzione di $ t $
4) A questo punto passi a determinare la retta AH (e non AM) dove H è l'altezza relativa al lato BC del triangolo grande... sono due passaggi è molto semplice a me viene $ y = -3/4 x + 5 $
5) Adesso vai con le coordinate di H e H' che sarebbe l'altezza relativa al triangolo piccolo, cioè intersezione tra retta AH e retta PQ
6) Hai base e altezza del triangolo piccolo e grande fai il rapporto e ottieni un valore di t
Tutto quanto ho scritto è la prosecuzione della tua idea di risoluzione.
In realtà sarebbe più semplice considerare che i due triangoli sono simili quindi il rapporto tra le due aree è auguale al rapporto tra i quadrati di BC e PQ... ciao!!
Guarda che il punto medio di BC non ti serve a nulla.
Evita di indicare le coordinate generiche di P utilizzando come incognita la $ x $, ciò può crearti problemi, meglio indicarle con altra lettera, esempio:
$ P(a,-2a+5) $
Poi c'è qualcosa che non va nell'impostazione. Ti aiuto, trova:
1) retta per P parallela a BC (è la retta PQ);
2) retta AC
3) Intersezione tra le rette PQ e AC (trovi le coordinate del punto Q)
4) Calcola le aree dei due triangoli, credo che sai trovare gli elementi ancora mancanti altrimenti chiedi, ed imponi la condizione data.
Vedrai che l'equazione da risolvere per trovare $ a $ e quindi le coordinate di P sarà abbastanza semplice.
Evita di indicare le coordinate generiche di P utilizzando come incognita la $ x $, ciò può crearti problemi, meglio indicarle con altra lettera, esempio:
$ P(a,-2a+5) $
Poi c'è qualcosa che non va nell'impostazione. Ti aiuto, trova:
1) retta per P parallela a BC (è la retta PQ);
2) retta AC
3) Intersezione tra le rette PQ e AC (trovi le coordinate del punto Q)
4) Calcola le aree dei due triangoli, credo che sai trovare gli elementi ancora mancanti altrimenti chiedi, ed imponi la condizione data.
Vedrai che l'equazione da risolvere per trovare $ a $ e quindi le coordinate di P sarà abbastanza semplice.
Allora riassumendo cose da correggere:
1)Controllare punto $Q$
2)Usare diverse lettere per diversi punti "incogniti"
3)Usare la proprietà: $A_(ABC):A_(APQ)=BC^2:PQ^2$
Quindi, riscrivendo:
$A(0;5)$
$B(3;-1)$
$C(6;3)$
Rette del problema:
$BC$: $y=4/3x-5$
$AB$: $y=-2x+5$
$AC$: $y=-1/3x+5$
$PQ$: Ne conosciamo solo $m=4/3$ quindi posso solo dire: $y=4/3x+q$
Punti oggetto:
$P(a;-2a+5)$ perchè di sicuro appartiene a $AB$
$Q(b;-1/3b+5)$ perchè di sicuro appartiene a $AC$
So che $BC^2:PQ^2=9:4$
$5^2:(a-b)^2+(-2a+5+1/3b-5)^2=9:4$
...
$25:5a^2+10/9b^2-10/3ab=9:4$
$5a^2+10/9b^2-10/3ab=25*4/9$
$5a^2+10/9b^2-10/3ab=100/9$
...
$40a^2+10b^2-30ab-100=0$
$4a^2+b^2-3ab-10=0$
Come procedo? Cosa ho sbagliato?
Non capisco scusate
1)Controllare punto $Q$
2)Usare diverse lettere per diversi punti "incogniti"
3)Usare la proprietà: $A_(ABC):A_(APQ)=BC^2:PQ^2$
Quindi, riscrivendo:
$A(0;5)$
$B(3;-1)$
$C(6;3)$
Rette del problema:
$BC$: $y=4/3x-5$
$AB$: $y=-2x+5$
$AC$: $y=-1/3x+5$
$PQ$: Ne conosciamo solo $m=4/3$ quindi posso solo dire: $y=4/3x+q$
Punti oggetto:
$P(a;-2a+5)$ perchè di sicuro appartiene a $AB$
$Q(b;-1/3b+5)$ perchè di sicuro appartiene a $AC$
So che $BC^2:PQ^2=9:4$
$5^2:(a-b)^2+(-2a+5+1/3b-5)^2=9:4$
...
$25:5a^2+10/9b^2-10/3ab=9:4$
$5a^2+10/9b^2-10/3ab=25*4/9$
$5a^2+10/9b^2-10/3ab=100/9$
...
$40a^2+10b^2-30ab-100=0$
$4a^2+b^2-3ab-10=0$
Come procedo? Cosa ho sbagliato?
Non capisco scusate
Le coordinate di Q devono essere in funzione dello stesso parametro usato per il punto A. Le sue coordinate le trovi come ti ho scritto nel post precedente: intersezione tra la retta PQ (retta per P e parallela a BC) e la retta AC. Trovi $ Q(2a, -2/3a+5) $.
Un consiglio:
se stai risolvendo problemi di geometria analitica non è consigliabile usare la similitudine dei riangoli, e quindi la proporzione (sarebbe allora più comodo e rapido usare la seguente $ (AP^2)/(AB^2)=4/9 $) per risolvere il problema.
Per calcolare le aree fai base per altezza diviso 2, oppure, se conosci la formula che fa uso solo delle coordinate dei tre punti usala. Per trovare le altezze puoi fare come suggerito da "mazzarri" oppure usare la formula della distanza punto-retta,
Un consiglio:
se stai risolvendo problemi di geometria analitica non è consigliabile usare la similitudine dei riangoli, e quindi la proporzione (sarebbe allora più comodo e rapido usare la seguente $ (AP^2)/(AB^2)=4/9 $) per risolvere il problema.
Per calcolare le aree fai base per altezza diviso 2, oppure, se conosci la formula che fa uso solo delle coordinate dei tre punti usala. Per trovare le altezze puoi fare come suggerito da "mazzarri" oppure usare la formula della distanza punto-retta,
Domani ci riprovo con le aree allora, tenendo a mente queste cose.
Non mi è però chiaro perché $Q$ sia come lo hai descritto tu. Basta che appartenga ad $AC$ giusto? Quindi perché non è $(b;-1/3b+5)$ ? E se deve anche appartenere a $PQ$ come li interseziono se non conosco q di PQ?
Grazie mille per l'aiuto
"Дэвид":
Non mi è però chiaro perché $Q$ sia come lo hai descritto tu. Basta che appartenga ad $AC$ giusto?
Il testo del problema recita: $ "conduci da un punto P del lato AB la retta parallela al lato BC fino a incontrare il lato AC nel punto Q" $.
Ecco perchè Q devi trovarlo come intersezione delle due rette.
La retta $ PQ $ ha equazione: $ y-(5-2a)=4/3(x-a) $
Forse ho capito meglio. Dunque dopo aver trovato Q nel modo giusto non mi resta che trovare le altezze dei due triangoli e da li poi con le aree ricavare PQ e quindi P?
$ PQ $ lo trovi con la formula della distanza di due punti, io ho trovato $ PQ=5a $.
Imponendo il rapporto delle aree uguale a $ 4/9 $ hai un'equazione che ti consente di ricavare $ a $ , e di conseguenza le coordinate di $ P $.
Imponendo il rapporto delle aree uguale a $ 4/9 $ hai un'equazione che ti consente di ricavare $ a $ , e di conseguenza le coordinate di $ P $.
Per ricapitolare riusciresti per favore a fotografarmi/scrivermi la tua soluzione completa? Mi sto un po' perdendo...
Ti ringrazio molto.
Ti ringrazio molto.
Devid... non è scorretto indicare le coordinate di Q come scrivi tu ma non è utile dal momento che introduci un secondo parametro... vai a rileggerti sopra il mio post ti indicavo passo per passo che cosa fare
Il fatto è che continuo a non capire come fare in pratica. Non c'è bisogno di altri post, devo solo pensarci su. Grazie a tutti, possiamo dire che sia risolto il problema iniziale.
"Дэвид":
Per ricapitolare riusciresti per favore a fotografarmi/scrivermi la tua soluzione completa? Mi sto un po' perdendo...
Ti ringrazio molto.
1) Equazione retta PQ (ossia retta per $ P(a,-2a+5) $ e parallela alla retta BC):
$ y-(-2a+5)=4/3(x-a) $ ossia $ y=4/3x-10/3a+5 $
2) Trovi le coordinate del punto Q come intersezione delle rette PQ e AC (ossia risolvi il sistema formato dalle equazioni di queste due rette), ottieni:
$ Q(2a,-2/3a+5) $
3) Altezza AH (del triangolo ABC), la trovo con la formula della distanza punto-retta $ d=(|ax_0+by_0+c|)/sqrt(a^2+b^2) $:
$ AH=(|-15-15|)/sqrt(16+9)=6 $
da cui
4) $ A(ABC)=1/2*BC*AH=15 $
5) Altezza AH' del triangolo APQ (distanza del punto A dalla retta PQ:
scrivo la retta PQ in forma implicita (la trovo più comoda): $ 4x-3y-10a+15=0 $
$ AH'=(|-15-10a+15|)/sqrt(16+9)=2a $
6)Trovo
$ PQ=sqrt((2a-a)^2+(-2/3a+5+2a-5)^2)=5/3a $
da cui
7) $ A(APQ)=1/2*PQ*AH' =1/2*5/3a*2a=5/3a^2 $
8) Imponendo il rapporto delle aree uguale a $ 4/9 $ si ha:
$ (5/3a^2)/15=4/9 $
da cui
$ a^2/9=4/9 $ ossia $ a^2=4 $ e quindi $ a=2 $.
Le coordinate di P sono allora $ P( 2,1) $
Fantastico! Grazie mille! Ora mi è tutto più chiaro! Non conoscevo l'equazione della retta passante pe un punto dato ($y-y_0=m(x-x_0)$
Quindi punti appartenenti a una stessa retta sono descritti con la stessa incognita (a), me ne ricorderò. Grazie mille!
Quindi punti appartenenti a una stessa retta sono descritti con la stessa incognita (a), me ne ricorderò. Grazie mille!
Di niente .
Nelle coordinate di P ho usato la lettera "a" ma si può, ovviamente, usare una qualsiasi lettera es. k, h, t, ecc. Importante evitare lettere che facciano sorgere confusione.
Nelle coordinate di P ho usato la lettera "a" ma si può, ovviamente, usare una qualsiasi lettera es. k, h, t, ecc. Importante evitare lettere che facciano sorgere confusione.
Vorrei dare un suggerimento per una soluzione rapida.
Sapendo che i due triangoli sono simili e che il rapporto tra le aree è uguale al rapporto tra i quadrati di lati corrispondenti, si ricava $bar(AP)=2*bar(BP)=2/3 bar(AB)$, perciò le coordinate di P sono date da
$2/3 (\vec B -vec A)+vecA=\{(x_p = 2/3( x_b -x_a) + x_a),(y_p = 2/3( y_b -y_a) + y_a):}=\{(x_p = 2/3(3-0) + 0=2),(y_p = 2/3( -1 -5) + 5=1):}$
Sapendo che i due triangoli sono simili e che il rapporto tra le aree è uguale al rapporto tra i quadrati di lati corrispondenti, si ricava $bar(AP)=2*bar(BP)=2/3 bar(AB)$, perciò le coordinate di P sono date da
$2/3 (\vec B -vec A)+vecA=\{(x_p = 2/3( x_b -x_a) + x_a),(y_p = 2/3( y_b -y_a) + y_a):}=\{(x_p = 2/3(3-0) + 0=2),(y_p = 2/3( -1 -5) + 5=1):}$
Molto interessante anche questa! Ne terrò conto, grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo