Geometria Analitica (Quesito)

[edo1493]

Sto ripassando la geometria analitica per il compito. Non sono riuscito a fare questo punto:

Dato il fascio di curve di equazione:

$ y = (2kx+k-1)/(kx+k-3) $
determinare per quali valori del paramentro l'equazione data rappresenta iperboli e in tal caso trovare il luogo descritto dal centro di simmetria.

I valori del parametro li ho trovati, dovrebbe essere per ogni k diverso da 0 e 5. Non ho capito cosa intende l'esercizio per luogo descritto dal centro di simmetria??

[edo1493]

Scusate se posto ma mi stanno venendo un po di dubbi prima del compito.
Per quali valori di h la seguente equazione $ (h+2)x^2 + (h-1)y^2 = h + 14 $ rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse delle y.
Un ellisse con i fuochi sull'asse delle y ha $b^2 > a^2 $ di conseguenza dovrei scrivere che $ (h+2)/(h+14) < (h+1)/(h+14)$ ma non viene

[Sk_Anonymous]

$(h+2)x^2+(h-1)y^2=h+14$

$((h+2)/(h+14))x^2+((h-1)/(h+14))y^2=1$

$x^2/((h+14)/(h+2))+y^2/((h+14)/(h-1))=1$

Quindi $a^2=(h+14)/(h+2)$ e $b^2=(h+14)/(h-1)$

[giammaria2]

Se hai trovato i valori del parametro, sei arrivato a scrivere la tua equazione nella forma $(kx+k-3)(y-2)=-k+5$. L'annullarsi di ciascuna delle due parentesi dà le equazioni dei suoi asintoti e il centro di simmetria è la loro intersezione. In questo caso non occorrono altri calcoli: i centri stanno tutti sulla retta $y=2$.
Vediamo però anche il metodo generale, supponendo che l'equazione fosse $(kx+k-3)(y-2k+1)=-k+5$. Il centro di simmetria si troverebbe risolvendo il sistema
${(kx+k-3=0),(y-2k+1=0):}$
Ricorderai che uno dei metodi per trovare un luogo geometrico è: introdurre un parametro (qui c'era già), scrivere il sistema che ha come soluzione il generico punto del luogo (appena fatto), eliminare il parametro fra le due equazioni. Il metodo più semplice per eliminarlo è ricavarlo da un'equazione e sostituirlo nell'altra: l'equazione ottenuta è il luogo.