GEOMETRIA ANALITICA PARABOLA Aiutooo

[milanistapersempre]

Geometria Analica AIUTOOOO!
Domani non so se mi interroga ma non so come fare questo esercizio aiutatemi per favore:
Dato il fascio di parabole di equazione
y=(k-2)x^2+2(k+3x+k-1
determinare per quali valori di k rappresenta
a)una retta
b)una parabola passante per l'origine
c)una parabola avente asse di simmetria l'asse y
d)una parabola che interseca l'asse x
e)una parabola avente il vertice sulla retta di equazione x+y=0

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Questo esercizio lo si risolve senza alcuna "formuletta", basta ragionare un attimino. Infatti, non credo sia difficile capire che tale fascio di parabole degenera in una retta qualora si annulli il coefficiente del termine di secondo grado, mentre passa per l'origine quando ad annullarsi è il "termine noto".

Un po' più difficile "da vedere" ma non troppo, è che tale fascio di parabole rappresenta una parabola con asse di simmetria l'asse delle y qualora sia nullo il coefficiente del termine di primo grado, mentre dovrebbe essere più intuitivo il perché tale fascio rappresenti una parabola intersecante l'asse x se e soltanto se il delta del polinomio di secondo grado presente a membro destro dell'equazione del fascio sia maggiore o uguale a zero.

Per concludere, una richiesta un po' più complessa. In sostanza, se il vertice della parabola che ci interessa individuare deve appartenere alla retta di equazione

[math]x+y=0[/math]

allora l'ordinata del vertice necessariamente è pari a

[math]y_v=-x_v[/math]

che sostituita assieme all'ascissa nel fascio di parabole porge

[math]-x_v=(k-2)x_v^2+2(k+3)x_v+(k-1)[/math]

ossia

[math](k-2)x_v^2+(2k+7)x_v+(k-1)=0[/math]

. Bene, una volta determinati i valori

[math]x_v[/math]

che soddisfano tale equazione, sarà sufficiente uguagliarli con la nota formuletta dell'ascissa del
vertice

[math]x_v=\frac{k+3}{2-k}[/math]

per determinare i

[math]k\\[/math]

richiesti.

Per dubbi e quant'altro non esitare a chiedere ;)