GEOMETRIA ANALITICA: PARABOLA (83803)
Ciao a tutti ho bisogno di un po' di chiarimenti per quanto riguarda la parabola. In particolare alcuni problemi:
1) Determinare le tangenti alla parabola y= -2x^2 +3x -1 nei suoi punti di intersezione con la retta 2x+y-1=0
2) Dal puno P( 1/2; 3) condurre le tangenti alla parabola di equazione y= -x^2 +2x.
Determinare le coordinate dei punti A e B di tangenza e calcolare l'area del triangolo APB.
3) Dal punto P(3;0) condurre le tangenti alla parabola di equazione x=-y+2 e calcolare le coordinate dei punti di tangenza.
4) Determinare se sono secanti, tangenti, esterne alla parabola di equazione y=x^2 -3x +2 le seguenti rette di equazione:
r) x-y-2=0 s) 3x+y-3=0 t) x-3y+3=0 u) x-y=4
5) Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse e passante per i punti A(-1,1) B(3,2) C(2,-2).
Vi serve veramente una mano...Sono mancato parecchi giorni da scuola e mi sono perso gran parte delle spiegazioni. Vi prego, di non dare nulla per scontato, scrivendo sia formule e magari qualche piccola spiegazione per passaggio. Lo so che sto approfittando, ma sono disperato...
Grazie a tutti per l'attenzione.
1) Determinare le tangenti alla parabola y= -2x^2 +3x -1 nei suoi punti di intersezione con la retta 2x+y-1=0
2) Dal puno P( 1/2; 3) condurre le tangenti alla parabola di equazione y= -x^2 +2x.
Determinare le coordinate dei punti A e B di tangenza e calcolare l'area del triangolo APB.
3) Dal punto P(3;0) condurre le tangenti alla parabola di equazione x=-y+2 e calcolare le coordinate dei punti di tangenza.
4) Determinare se sono secanti, tangenti, esterne alla parabola di equazione y=x^2 -3x +2 le seguenti rette di equazione:
r) x-y-2=0 s) 3x+y-3=0 t) x-3y+3=0 u) x-y=4
5) Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse e passante per i punti A(-1,1) B(3,2) C(2,-2).
Vi serve veramente una mano...Sono mancato parecchi giorni da scuola e mi sono perso gran parte delle spiegazioni. Vi prego, di non dare nulla per scontato, scrivendo sia formule e magari qualche piccola spiegazione per passaggio. Lo so che sto approfittando, ma sono disperato...
Grazie a tutti per l'attenzione.
Risposte
1)
Prima di tutto troviamo i punti di tangenza tra la retta e la parabola.
Per far ciò conviene esprimere la funzione della retta nella forma y=f(x):
2x + y - 1 = 0
y = -2x + 1
A questo punto mettiamo a sistema le due equazioni:
a) y = -2x^2 + 3x - 1
b) y = -2x + 1
sostituiamo il valore di y dell'espressione b) nell'espressione a) e otteniamo:
-2x + 1 = -2x^2 + 3x - 1
-2x^2 + 5x - 2 = 0
risolviamo questa equazione:
Delta = B^2 - 4*A*C = 25 - 16 = 9
x1 = (-B - sqr (Delta))/(2*A) = (-5 - sqr (9))/2*(-2) =
= (-5 - 3)/-4 = -8/-4 = 2
x2 = (-B + sqr (Delta))/(2*A) = (-5 + sqr (9))/2*(-2) =
= (-5 + 3)/-4 = -2/-4 = -1/2
A questo punto possiamo sostituire in a) o in b) i due valori di x trovati per ricavare i rispettivi valori di y.
Conviene utilizzare l'espressione più semplice quindi utilizziamo quella della retta (la b):
y = -2x + 1
y1 = f(x1) = -2*2 + 1 = -4 + 1 = -3
y2 = f(x2) = -2*(-1/2) + 1 = 1 + 1 = 2
I punti di intersezione hanno le seguenti coordinate:
A (2, -3)
B (-1/2, 2)
A questo punto dobbiamo trovare le tangenti in A e in B.
La formula generica di un retta passante per un punto è:
(y - y0) = m*(x - x0)
x0 e y0 sono le coordinate del punto scelto, mentre m è il coefficiente angolare della tangente in quel determinato punto.
Ma il coefficiente angolare, altro non è che la derivata prima della funzione calcolato per x0.
Quindi iniziamo con il punto A (2, -3)
(y - (-3)) = m*(x - 2)
(y + 3) = m*(x - 2)
Calcoliamo la derivata prima della parabola in x = 2, il valore del nostro coefficiente angolare m:
y' = -4x + 3
m = y'(2) = -4*(2) + 3 = -8 + 3 = -5
La retta tangente in A sarà quindi:
(y + 3) = -5*(x - 2)
y = -5x + 10 - 3 = -5x + 7
Ripetiamo gli stessi passaggi per il punto B (-1/2, 2)
(y - 2) = m*(x - (-1/2))
(y - 2) = m*(x + 1/2)
Calcoliamo la derivata prima della parabola in x = -1/2, il valore del nostro coefficiente angolare m:
y' = -4x + 3
m = y'(-1/2) = -4*(-1/2) + 3 = 2 + 3 = 5
La retta tangente in B sarà quindi:
(y - 2) = 5*(x + 1/2)
y = 5x - 5/2 + 2 = 5x -1/2
... ecco il primo
:hi
Massimiliano
Aggiunto 3 minuti più tardi:
Hai scritto:
3) Dal punto P(3;0) condurre le tangenti alla parabola di equazione x=-y+2 e calcolare le coordinate dei punti di tangenza.
L'equazione x = -y + 2 rappresenta una retta, non una parabola, per cortesia puoi inserire l'espressione corretta?
Aggiunto 15 minuti più tardi:
Il 2) e il 3), quest'ultimo però lo devi correggere, te li risolvo domani che ho più tempo, adesso passo al 4) che è più immediato.
4)
Per sapere se una retta è esterna, secante o tangente, si deve risolvere il sistema tra l'equazione della parabola e quella della retta scelta.
Come abbiamo già visto nel problema 1) si tratterà di risolvere una equazione di 2° e si potranno presentare tre casi:
Nessuna soluzione reale: la retta è esterna alla parabola
Due soluzioni reali e coincidenti: la retta è tangente nel punto trovato
Due soluzioni reali e distinte (come nel problema 1): la retta è secante.
Anche se, visto il problema 1, dovresti essere comunque in grado di farlo da solo, te ne imposto una, poi, tu, ripetendo il procedimento, ti potrai trovare le altre soluzioni.
Consideriamo la prima retta:
x - y - 2 = 0
come prima mettiamola nella forma y = f(x)
y = x - 2
Mettiamo a sistema l'espressione della parabola e quella della retta
a) y = x^2 - 3x + 2
b) y = x - 2
sostituiamo il valore di y dell'espressione b) nell'espressione a)
x - 2 = x^2 - 3x + 2
x^2 - 4x + 4 = 0
risolviamo questa equazione:
Delta = B^2 - 4*A*C = 16 - 16 = 0
Essendo il Delta uguale a 0, sappiamo che le soluzioni sono reali e coincidenti, quindi la retta in questione è tangente alla parabola.
:hi
Aggiunto 47 minuti più tardi:
5)
L'equazione generica di una parabola con asse parallelo alle ascisse è:
x = ay^2 + by + c
Per trovare i tre parametri a,b,c si devono inserire di volta in volta le coordinate dei tre punti dati, e quindi fare un sistema delle tre espressioni risultanti.
Quindi dati A(-1,1) B(3,2) C(2,-2), iniziamo a sostituire le coordinate di A:
-1 = a + b + c, questa sarà la prima espressione
sostituiamo i valori di B:
3 = 4a + 2b + c, la seconda espressione
sostituiamo i valori di C:
2 = 4a - 2b + c, la terza espressione
Quindi il nostro sistema sarà composto dalle seguenti espressioni:
a) -1 = a + b + c
b) 3 = 4a + 2b + c
c) 2 = 4a - 2b + c
Dalla a) ricaviamo c:
c = -1 - a - b
e sostituiamo questo valore nella b) e nella c)
b) 3 = 4a + 2b - 1 - a - b
c) 2 = 4a - 2b - 1 - a - b
b) 4 = 3a + b
c) 3 = 3a - 3b
Dalla b) ricaviamo b
b = 4 - 3a
e sostituiamo questo valore nella c)
c) 3 = 3a - 3*(4 - 3a)
c) 3 = 3a - 12 + 3a
c) 15 = 6a
per cui a = 15/6 = 5/3
sostituiamo il valore di a nella precedente formula b = 4 - 3a e otteniamo immediatamente il valore di b:
b = 4 - 3a = 4 - 3*(5/3) = 4 - 5 = -1
Adesso possiamo sostituire i valori di a e b nella formula c = -1 - a - b e ricavare anche il valore di c:
c = -1 - a - b = -1 - 5/3 -(-1) = -5/3
Quindi l'espressione della parabola parallela all'asse delle ascisse passante per i tre punti dati sarà (salvo miei errori di calcolo... sempre in agguato... :pp)
x = (5/3)y^2 - y - (5/3)
:hi
Prima di tutto troviamo i punti di tangenza tra la retta e la parabola.
Per far ciò conviene esprimere la funzione della retta nella forma y=f(x):
2x + y - 1 = 0
y = -2x + 1
A questo punto mettiamo a sistema le due equazioni:
a) y = -2x^2 + 3x - 1
b) y = -2x + 1
sostituiamo il valore di y dell'espressione b) nell'espressione a) e otteniamo:
-2x + 1 = -2x^2 + 3x - 1
-2x^2 + 5x - 2 = 0
risolviamo questa equazione:
Delta = B^2 - 4*A*C = 25 - 16 = 9
x1 = (-B - sqr (Delta))/(2*A) = (-5 - sqr (9))/2*(-2) =
= (-5 - 3)/-4 = -8/-4 = 2
x2 = (-B + sqr (Delta))/(2*A) = (-5 + sqr (9))/2*(-2) =
= (-5 + 3)/-4 = -2/-4 = -1/2
A questo punto possiamo sostituire in a) o in b) i due valori di x trovati per ricavare i rispettivi valori di y.
Conviene utilizzare l'espressione più semplice quindi utilizziamo quella della retta (la b):
y = -2x + 1
y1 = f(x1) = -2*2 + 1 = -4 + 1 = -3
y2 = f(x2) = -2*(-1/2) + 1 = 1 + 1 = 2
I punti di intersezione hanno le seguenti coordinate:
A (2, -3)
B (-1/2, 2)
A questo punto dobbiamo trovare le tangenti in A e in B.
La formula generica di un retta passante per un punto è:
(y - y0) = m*(x - x0)
x0 e y0 sono le coordinate del punto scelto, mentre m è il coefficiente angolare della tangente in quel determinato punto.
Ma il coefficiente angolare, altro non è che la derivata prima della funzione calcolato per x0.
Quindi iniziamo con il punto A (2, -3)
(y - (-3)) = m*(x - 2)
(y + 3) = m*(x - 2)
Calcoliamo la derivata prima della parabola in x = 2, il valore del nostro coefficiente angolare m:
y' = -4x + 3
m = y'(2) = -4*(2) + 3 = -8 + 3 = -5
La retta tangente in A sarà quindi:
(y + 3) = -5*(x - 2)
y = -5x + 10 - 3 = -5x + 7
Ripetiamo gli stessi passaggi per il punto B (-1/2, 2)
(y - 2) = m*(x - (-1/2))
(y - 2) = m*(x + 1/2)
Calcoliamo la derivata prima della parabola in x = -1/2, il valore del nostro coefficiente angolare m:
y' = -4x + 3
m = y'(-1/2) = -4*(-1/2) + 3 = 2 + 3 = 5
La retta tangente in B sarà quindi:
(y - 2) = 5*(x + 1/2)
y = 5x - 5/2 + 2 = 5x -1/2
... ecco il primo
:hi
Massimiliano
Aggiunto 3 minuti più tardi:
Hai scritto:
3) Dal punto P(3;0) condurre le tangenti alla parabola di equazione x=-y+2 e calcolare le coordinate dei punti di tangenza.
L'equazione x = -y + 2 rappresenta una retta, non una parabola, per cortesia puoi inserire l'espressione corretta?
Aggiunto 15 minuti più tardi:
Il 2) e il 3), quest'ultimo però lo devi correggere, te li risolvo domani che ho più tempo, adesso passo al 4) che è più immediato.
4)
Per sapere se una retta è esterna, secante o tangente, si deve risolvere il sistema tra l'equazione della parabola e quella della retta scelta.
Come abbiamo già visto nel problema 1) si tratterà di risolvere una equazione di 2° e si potranno presentare tre casi:
Nessuna soluzione reale: la retta è esterna alla parabola
Due soluzioni reali e coincidenti: la retta è tangente nel punto trovato
Due soluzioni reali e distinte (come nel problema 1): la retta è secante.
Anche se, visto il problema 1, dovresti essere comunque in grado di farlo da solo, te ne imposto una, poi, tu, ripetendo il procedimento, ti potrai trovare le altre soluzioni.
Consideriamo la prima retta:
x - y - 2 = 0
come prima mettiamola nella forma y = f(x)
y = x - 2
Mettiamo a sistema l'espressione della parabola e quella della retta
a) y = x^2 - 3x + 2
b) y = x - 2
sostituiamo il valore di y dell'espressione b) nell'espressione a)
x - 2 = x^2 - 3x + 2
x^2 - 4x + 4 = 0
risolviamo questa equazione:
Delta = B^2 - 4*A*C = 16 - 16 = 0
Essendo il Delta uguale a 0, sappiamo che le soluzioni sono reali e coincidenti, quindi la retta in questione è tangente alla parabola.
:hi
Aggiunto 47 minuti più tardi:
5)
L'equazione generica di una parabola con asse parallelo alle ascisse è:
x = ay^2 + by + c
Per trovare i tre parametri a,b,c si devono inserire di volta in volta le coordinate dei tre punti dati, e quindi fare un sistema delle tre espressioni risultanti.
Quindi dati A(-1,1) B(3,2) C(2,-2), iniziamo a sostituire le coordinate di A:
-1 = a + b + c, questa sarà la prima espressione
sostituiamo i valori di B:
3 = 4a + 2b + c, la seconda espressione
sostituiamo i valori di C:
2 = 4a - 2b + c, la terza espressione
Quindi il nostro sistema sarà composto dalle seguenti espressioni:
a) -1 = a + b + c
b) 3 = 4a + 2b + c
c) 2 = 4a - 2b + c
Dalla a) ricaviamo c:
c = -1 - a - b
e sostituiamo questo valore nella b) e nella c)
b) 3 = 4a + 2b - 1 - a - b
c) 2 = 4a - 2b - 1 - a - b
b) 4 = 3a + b
c) 3 = 3a - 3b
Dalla b) ricaviamo b
b = 4 - 3a
e sostituiamo questo valore nella c)
c) 3 = 3a - 3*(4 - 3a)
c) 3 = 3a - 12 + 3a
c) 15 = 6a
per cui a = 15/6 = 5/3
sostituiamo il valore di a nella precedente formula b = 4 - 3a e otteniamo immediatamente il valore di b:
b = 4 - 3a = 4 - 3*(5/3) = 4 - 5 = -1
Adesso possiamo sostituire i valori di a e b nella formula c = -1 - a - b e ricavare anche il valore di c:
c = -1 - a - b = -1 - 5/3 -(-1) = -5/3
Quindi l'espressione della parabola parallela all'asse delle ascisse passante per i tre punti dati sarà (salvo miei errori di calcolo... sempre in agguato... :pp)
x = (5/3)y^2 - y - (5/3)
:hi
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