Geometria analitica (parabola)
Sarà l'ora e la stanchezza di oggi, ma non riesco a completare questo esercizio, ovvero, secondo me mi perdo in un bicchiere d'acqua...e vorrei un parere.
Trovare l'equazione della parabola $f(x)=ax^2+bx+c$ che è tangente ad una curva $\gamma$ nel punto di ascissa $1/2$ e che ha minimo nel punto di ascissa $1$.
Svolgimento:
E' noto che servono 3 condizioni per trovare l'equazione:
1)Dal fatto che la parabola è tangente alla curva $\gamma$ ricavo l'ordinata del punto di tangenza, e quindi so che si toccano nel punto $P=(1/2,3/5)$
2)Dal fatto che la parabola ha minimo di ascissa 1 ricavo: $f'(1)=0$
quindi due delle condizioni sono:
$ { ( 2a+b=0 ),( f(1/2)=3/5 ):} $
mi manca la terza condizione. Ho provato a ragionare sull'asse di simmetria della parabola e sul fatto che le due curve siano tangenti in P, ma non riesco ad estrarne una condizione diversa, da una delle due che ho già inserito nel sistema.
Trovare l'equazione della parabola $f(x)=ax^2+bx+c$ che è tangente ad una curva $\gamma$ nel punto di ascissa $1/2$ e che ha minimo nel punto di ascissa $1$.
Svolgimento:
E' noto che servono 3 condizioni per trovare l'equazione:
1)Dal fatto che la parabola è tangente alla curva $\gamma$ ricavo l'ordinata del punto di tangenza, e quindi so che si toccano nel punto $P=(1/2,3/5)$
2)Dal fatto che la parabola ha minimo di ascissa 1 ricavo: $f'(1)=0$
quindi due delle condizioni sono:
$ { ( 2a+b=0 ),( f(1/2)=3/5 ):} $
mi manca la terza condizione. Ho provato a ragionare sull'asse di simmetria della parabola e sul fatto che le due curve siano tangenti in P, ma non riesco ad estrarne una condizione diversa, da una delle due che ho già inserito nel sistema.
Risposte
Se le due curve sono tangenti tra loro nel punto $P ( 1/2,3/5) $ devono avere la stessa derivata in $x=1/2 $ cioè $f'(1/2)= y'(1/2)$.
Ecco come volevasi dimostrare mi sono perso in un bicchiere d'acqua...la mia attenzione durante lo svolgimento mi portava sul quel punto di tangenza...ma la stanchezza ha vinto...grazie camillo!