Geometria analitica _ la circonferenza

[Mii_]

Ciao ragazzi mi aiutereste a svolgere i seguenti esercizi?
Dopo aver studiato la natura del fascio di circonferenze:


X alla seconda + Y alla seconda+(K-6)X + (6-K)Y + 9 -3K

determinare per quali valori di K si ottiene

1- la circonferenza avente raggio 3/2per radice quadrata di 2
2- la circonferenza il cui centro ha distanza uguale a radice di 2 dall'origine degli assi
3- la circonferenza che incontra la retta x-y-1=0


X alla seconda + Y alla seconda - (K+3)X+(K-1)Y-K-3=0

DETERMINARE quelle che verificano le seguenti condizioni:
1- hanno raggio uguale a 4
2-hanno il centro nella retta X=3
3- hanno il centro appartenente alla retta x+2y+1=0
4-staccano sulla retta Y=1 una corda di lunghezza radice di 37
5- non hanno punti in comune con asse x

GRAZIE IN ANTICIPO :)

[bimbozza]

Iniziamo col primo

[math]
x^2+y^2+(k-6)x+(6-k)y+9-3k=0[/math]

Coordinate dei centri:

[math]x_c=(6-k)/2[/math]

[math]y_c=(k-6)/2[/math]

--->fascio improprio


1)

[math] \sqrt{( \frac{k-6}{2})^2+ (\frac{6-k}{2})^2-9+3k}=3 \sqrt{2}/2[/math]

[math] (k-6)^2+(6-k)^2-36+12k= 18[/math]

[math] k^2+36-12k+36+k^2-12k -36+12k= 18[/math]

[math] 2k^2-12k+18=0[/math]

[math] 2(k^2-6k+9)=0[/math]

[math] 2(k-3)^2=0[/math]

quindi k=3


2) calcoliamo la distanza dall'origine a C centro di cui abbiamo già calcolato le coordinate ed imponiamola =

[math]\sqrt2[/math]

[math] \sqrt{((6-k)/2-0)^2+((k-6)/2-0)^2}= \sqrt 2[/math]

[math] ((6-k)/2)^2+((k-6)/2)^2= 2[/math]

[math] 36+k^2-12k+36+k^2-12k= 8[/math]

[math] k^2-12k+32=0[/math]

da cui k=4 e k=8

3) mettiamo in sistema il fascio con la retta ed imponiamo che il delta dell'equazione sia maggiore o uguale a 0

[math]\left{
x^2+y^2+(k-6)x+(6-k)y+9-3k=0\\
x-y-1=0\\
[/math]

[math]\left{
(y+1)^2+y^2+(k-6)(y+1)+(6-k)y+9-3k=0\\
x=y+1\\
[/math]

[math]\left{
y^2+1+2y+y^2+(k-6)y+k-6+(6-k)y+9-3k=0\\
x=y+1\\
[/math]

[math]\left{
2y^2+2y-2k+4=0\\
x=y+1\\
[/math]

[math]\Delta/4 =1+4k-8>=0[/math]

[math]4k>=7[/math]

quindi k>7/4
-----------------------------------------------------------------

Aggiunto 27 minuti più tardi:

[math]x^2+y^2-(k+3)x+(k-1)y-k-3=0[/math]

calcoliamo le coordinate del centro

[math]x_c=(k+3)/2[/math]

[math]y_c=(1-k)/2[/math]

----->fascio improprio

1)il procedimento è uguale al punto 1 dell'esercizio precedente

2) inseriamolo le coordinare del centro nell'equazione della retta x=3

[math]\frac{k+3}{2}=3[/math]

[math]k+3=6[/math]

[math]k=3[/math]

3) come nel punto precedente solo che questa volta devi inserire anche la coordinata y_c al posto di y e ricavarti k

4)

[math]\left{
x^2+y^2-(k+3)x+(k-1)y-k-3=0\\
y=1[/math]

[math]\left{
x^2+1-(k+3)x+k-k-1-3=0\\
y=1[/math]

[math]\left{
x^2-(k+3)x-3=0\\
y=1[/math]

[math]\Delta=(k+3)^2-4k+12=k^2+9+6k+12=k^2+6k+21[/math]

i risultati dell'equazione sono

[math]\frac{k+3+ \sqrt{k^2+6k+21}}{2}[/math]

e

[math]\frac{k+3- \sqrt{k^2+6k+21}}{2}[/math]

La distanza tra questi due punti deve essere pari a

[math]\sqrt {37}[/math]

quindi

[math]\frac{k+3+ \sqrt{k^2+6k+21}}{2}- ( \frac{k+3- \sqrt{k^2+6k+21}}{2}) = \sqrt{37}[/math]

[math]\frac{2\sqrt{k^2+6k+21}}{2}= \sqrt{37}[/math]

[math] \sqrt{k^2+6k+21}= \sqrt{37}[/math]

[math] k^2+6k+21= 37[/math]

[math] k^2+6k+21= 37[/math]

da cui si ricavano k=-8 e k=2

5) l'asse x ha equazione y=0. Se esso non ha punti in comune con il fascio, mettendo in sistema le due equazioni il delta dell'equazione di secondo grado sarà negativo.

[math]\left{
x^2+y^2-(k+3)x+(k-1)y-k-3=0\\
y=0[/math]

[math]\left{
x^2-(k+3)x-k-3=0\\
y=0[/math]

[math]\Delta= (k+3)^2+4k+12

[Mii_]

Ciao, non mi sono molto chiari il terzo e il quarto esercizio- il terzo non riesco a risolverlo, probabilmente sbaglio ad impostarlo. Grazie, aspetto tua risposta!

[bimbozza]

Immagino tu stia parlando del terzo e quarto punto del secondo esercizio...allora, veniamo al terzo:

Abbiamo già trovato le coordinate del centro, cioè

[math]x_c=(k+3)/2[/math]

e

[math]y_c=(1-k)/2[/math]

Se stanno sulla retta x+2y+1=0 vuol dire che, inserite nell'equazione della retta essa mi deve dare un'identità. Vediamo come si imposta:

[math]x_c+2y_c+1=0[/math]

quindi

[math]\frac{k+3}{2}+2* \frac{1-k}{2}+1=0[/math]

dove il simbolo * indica una moltiplicazione... l'avevi impostato così? se sì, quanto ti è tornato? se no, prova a fare i calcoli e vedi se ti torna il risultato con quello del libro...


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


veniamo al quarto punto...esso è effettivamente più complesso... Dividerò il ragionamento per punti così se una parte di esso non ti torna basta che mi dici la lettera corrispondente e te la rispiego:

Il testo ci dice che dobbiamo trovare quella circonferenza in cui, se intersecata con la retta y=1 si ha una corda di

[math]\sqrt {37}[/math]

.

a) Dato che la retta è orizzontale la lunghezza di questo segmento sarà pari alla distanza tra i due punti di intersezione della retta con la circonferenza.

b)Per trovare i punti d'intersezione mettiamo in sistema la circonferenza con la retta.

c) Troviamo i punti

[math]\frac{k+3+ \sqrt{k^2+6k+21}}{2}[/math]

e

[math]\frac{k+3+ \sqrt{k^2+6k+21}}{2}[/math]

d) Dato che i due punti si trovano entrambe sulla retta y=1, basta sottrarre le coordinate trovate per avere la lunghezza

e)imponiamo che quest lunghezza sia pari a

[math]\sqrt{37}[/math]

f) risolviamo l'equazione e troviamo k

[Mii_]

Prova gentilmente a vedere se riesci a risolvere questo:

1) Dopo aver scritto (a) l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y avente vertice in e passante per il punto determina:

b. una parallela all’asse x che stacchi sulla parabola una corda di lunghezza 3

c. l’equazione della circonferenza tangente alla corda AB e alla parabola nel vertice

I primi due punti li ho svolgi mi manca la lettera c:)

[bimbozza]

non si può postare esercizio "in corso d'opera" in un altro post... se vuoi una mano devi aprirne un altro...