[Geometria analitica] Intersezioni retta-iperbole

[danifabio]

Discuti il numero dei punti di intersezione tra la generica retta del fascio di centro M(0;2) e l'arco dell'iperbole di equazione 16x^2-9y^2-96x-36y-36=0, con x< uguale 0 e y < uguale 0
( suggerimento. Considera come incognita il coefficiente angolare m delle rette)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Bada bene che l'equazione

[math]16x^2-9y^2-96x-36y-36=0\\[/math]

equivale a quest'altra

[math]16x^2-96x+144-9y^2-36y-36=144\\[/math]

ossia

[math]16\left(x-3\right)^2-9\left(y+2\right)^2=144\\[/math]

che in definitiva porge

[math]\frac{\left(x-3\right)^2}{3^2}-\frac{(y+2)^2}{4^2}=1\\[/math]

ellisse di centro

[math]C(3,\,-2)[/math]

, vertici

[math]V\left(3\pm 3,\,-2\right)[/math]

, fuochi

[math]F\left(3\pm\sqrt{3^2+4^2},\,-2\right)[/math]

e asintoti

[math]y=\pm\frac{4}{3}(x-3)-2\\[/math]

.

A questo punto, una volta individuata l'equazione del fascio di rette di centro

[math]M(0,\,-2)[/math]

,
non credo sia difficile discutere il numero di intersezioni che sussistono tra le proprie rette
al variare di

[math]m[/math]

e il ramo dell'iperbole appena studiata (e graficata) per

[math]x\le 0 \, \land y\le 0\\[/math]

.

Provaci che in caso di difficoltà ne discutiamo assieme ;)