Geometria analitica - Fasci di rette (39373)

[fra@fra]

Dato il fascio di equazione:
(1+2k)x+(k-2)y+4k+3=0
determinare:
le rette che distano 2/5 dal punto P(-1,-1); [75x+40y+149=0, 3x+4y+5=0]

come si fa????? aiutoooooo.... grazie


volevo anche sapere questa:

Nel fascio di rette di equazione:
2-y+k(x+3y)=0
determinare il valore del parametro k in modo che la retta:
a)sia parallela alla retta di equazione y=ax+2 quando questa passa per il punto (1,1) [k=1/2]
b)formi con gli assi coordianti un triangolo di area 2. [k=(1+-sqrt13)/6]

[romano90]

Hai il fascio di rette:

[math](1+2k)x+(k-2)y+4k+3=0[/math]

Imponi la distanza del fascio dal punto dato uguale a

[math]\frac{2}{5}[/math]

[math]\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}= d
\\
\frac{|(1+2k)(-1)+(k-2)(-1)+4k+3|}{\sqrt{(1+2k)^2+(k-2)^2}} = \frac{2}{5}

\\
\frac{|-1-2k-k+2+4k+3|}{\sqrt{1+4k+4k^2+k^2+4-4k}} = \frac{2}{5}

\\

\frac{|k+4|}{\sqrt{5k^2+5}} = \frac{2}{5}






[/math]

Continua con i calcoli e arriverai ad un'equazione di secondo grado in k, la risolvi e otterrai 2 valori di k che, sostituiti al fascio iniziale, ti daranno le rette cercate.

[fra@fra]

fin qui ci sono... cmq scusa tanto!!!
poi ho moltiplicato a croce ed elevato al quadrato ambo i membri e ho ottenuto
3k"+40k+78=0 il delta è =166 così k=(-20+sqrt166)/3 andando a sostituire non scomparirà mai quella radice

[romano90]

[math]5(|k+4|)= 2\sqrt{5k^2+5}[/math]

Ora eleva al quadrato e risolvi l'equazione che viene. ;)

[fra@fra]

caspita devo stare più attenta... grazie e scusa d averti assillato... cmq x l'altro sai darmi indicazioni??

[romano90]

Non ti preoccupare ;)


Per il secondo:

Per prima cosa trovati la retta

[math]y=ax+2[/math]

quando passa per quel punto

Condizione di appartenza al punto:

[math]1=a(1)+2 \to a=-1[/math]

La retta diventa quindi:

[math]y=-x+2[/math]

Ora ti rendi il tuo fascio di rette in modo esplicito:

[math]2-y+k(x+3y)=0
\\ 2-y+kx+3ky=0
\\ kx+(3k-1)y+2=0
\\ y= -\frac{kx}{3k-1} - \frac{2}{3k-1}


[/math]

Ora una retta è parallela ad un'altra quando i coefficienti angolari di entrambe sono uguali, quindi:

il coefficiente angolare del fascio deve essere uguale a -1 (come la retta che abbiamo trovato prima:

[math]-\frac{k}{3k-1} = -1
\\ -k=-3k+1 \to 2k=1 \to k= \frac{1}{2}
[/math]

Per il secondo punto:

Il nostro fascio interseca i 2 assi in 2 punti. Il triangolo che si formerà sarà rettangolo, in quanto i due assi cartesiani sono ortogonali tra loro.

I punti che il fascio ha in comune con gli assi si trovano con un sistema e saranno con un parametro k all'interno.

I punti con il parametro corrisponderanno ai nostri cateti:

[math] A_x= \begin{cases} kx+(3k-1)y+2=0 \\ y=0 \end{cases} \to \begin{cases} kx+2=0 \\ y=0 \end{cases} \to \begin{cases} x= -\frac{2}{k} \\ y=0 \end{cases}[/math]

[math]A_y= \begin{cases} kx+(3k-1)y+2=0 \\ x=0 \end{cases} \to \begin{cases} (3k-1)y+2=0 \\ x=0 \end{cases} \to \begin{cases} y= -\frac{2}{3k-1} \\ x=0 \end{cases} [/math]

L'area del triangolo rettangolo si trova con il semiprodotto dei cateti e deve essere uguale a 2

Quindi, con i nostri dati viene:

[math] A =\frac{(-\frac{2}{k}) \times (-\frac{2}{3k-1})}{2} = 2
\\ \frac{4}{3k^2-k}= 4
\\ 4=12k^2-4k \to 12k^2-4k-4=0
\\
k_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16+(4)(4)(12)}}{24} \to \frac{4 \pm \sqrt{208}}{24} \to \frac{4 \pm 4\sqrt{13}}{24}
\\
k= \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}





[/math]