Geometria Analitica - Ellisse
ciao a tutti :hi
c'è qualche buon'anima che mi da' una mano con questo problema?
io non so proprio da dove cominciare :cry:cry
"Scritte le equazioni della circonferenza avente il centro nell'origine e raggio uguale a 4 e dell'ellisse avente un vertice in (0;5) e passante per (1; radice di 21), determinare i punti d'intersezione delle due curve; considerato poi il rettangolo avente tali punti come vertici, determinare sulla diagonale situata nel 1° e 3° quadrante un punto P tale che risulti:
(PA) al quadrato + (PB) al quadrato = 14 , essendo A e B i vertici dell'ellisse situati sull'asse x"
è arabo per me :no
c'è qualche buon'anima che mi da' una mano con questo problema?
io non so proprio da dove cominciare :cry:cry
"Scritte le equazioni della circonferenza avente il centro nell'origine e raggio uguale a 4 e dell'ellisse avente un vertice in (0;5) e passante per (1; radice di 21), determinare i punti d'intersezione delle due curve; considerato poi il rettangolo avente tali punti come vertici, determinare sulla diagonale situata nel 1° e 3° quadrante un punto P tale che risulti:
(PA) al quadrato + (PB) al quadrato = 14 , essendo A e B i vertici dell'ellisse situati sull'asse x"
è arabo per me :no
Risposte
alllora trovi l' equazione della crf
allora sai che
ci sei fin qui???
[math]x^2+y^2+\alpha x+\beta y+ \gamma=0[/math]
allora sai che
[math]-\frac{\alpha}{2}=0[/math]
così per [math]\beta [/math]
quindi [math]\gamma=0[/math]
..poi che [math]\gamma=r^2=16[/math]
..la crf sarà quindi [math]x^2+y^2+16=0[/math]
ci sei fin qui???
Allura... dato che imparare equazioni e formule a memoria ingombra la mente, cominciamo...
...cominciamo dagli albori della circonferenza!
Prendiamo un sistema di assi cartesiani Oxy. Vogliamo determinare l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio
La circonferenza, per sua definizione, è l'insieme di tutti i punti equidistanti dal centro.
Adesso prendiamo un punto
Se proiettiamo il punto
Per il Teorema di Pitagora, l'ipotenusa
Se sostituiamo
Ma se eleviamo tutto alla seconda, allora otterremo l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio
Noi potremmo volere una circonferenza che non abbia il centro in
Basterà sottrarre le coordinate del centro
L'equazione GENERALE della circonferenza sarà quindi:
Sviluppando tale equazione si ottiene:
Se sostituiamo
--------------------------------------------------------------
Poiché nel tuo problema il raggio della circonferenza è
EQUAZIONE DELLA TUA CIRCONFERENZA
--------------------------------------------------------------
Passiamo allo studio dell'ellisse...
Si dice ellisse il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Non svolgerò tutto il procedimento per arrivare all'equazione della circonferenza perché è piuttosto lungo, anche se si basa sulla costruzione di triangoli come per la circonferenza. Ti faccio comunque il disegno (spero sia corretto, perché l'ho fatto ) :lol:
L'equazione CANONICA dell'ellisse è:
Un ellisse ha quattro vertici di coordinate:
--------------------------------------------------------------
Poiché la tua ellisse ha un vertice in (0,5), allora l'equazione si trasformerà in:
Infine, per imporre il passaggio della tua ellisse dal punto
...cominciamo dagli albori della circonferenza!
Prendiamo un sistema di assi cartesiani Oxy. Vogliamo determinare l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio
[math]r[/math]
. La circonferenza, per sua definizione, è l'insieme di tutti i punti equidistanti dal centro.
Adesso prendiamo un punto
[math]P[/math]
, tale che la distanza [math]\overline{OP} = r[/math]
.Se proiettiamo il punto
[math]P[/math]
sull'asse delle ascisse, otterremo il triangolo [math]OPH[/math]
, i cui cateti sono: [math]\overline{OP}[/math]
, [math]\overline{OH}[/math]
e [math]\overline{PH}[/math]
.Per il Teorema di Pitagora, l'ipotenusa
[math]\overline{OP}[/math]
si ottiene dalla seguente formula:[math]\overline{OP}=\sqrt{\overline{OH}^2+\overline{PH}^2[/math]
Se sostituiamo
[math]\overline{OP}=r[/math]
, [math]\overline{OH}=x[/math]
e [math]\overline{PH}=y[/math]
, otteniamo:[math]r=\sqrt{x^2+y^2}[/math]
Ma se eleviamo tutto alla seconda, allora otterremo l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio
[math]r[/math]
:[math]x^2+y^2=r^2[/math]
Noi potremmo volere una circonferenza che non abbia il centro in
[math]O (0,0)[/math]
, ma in un centro [math]C (\alpha,\beta)[/math]
.Basterà sottrarre le coordinate del centro
[math]C[/math]
, rispettivamente a [math]x = \overline{OH}[/math]
e [math]y = \overline{PH}[/math]
L'equazione GENERALE della circonferenza sarà quindi:
[math](x-\alpha)^2+(y-\beta)^2 = r^2[/math]
Sviluppando tale equazione si ottiene:
[math]x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\alpha^2+\beta^2-r^2=0[/math]
Se sostituiamo
[math]-2\alpha=a[/math]
, [math]-2\beta=b[/math]
e [math]\alpha^2+\beta^2-r^2=c[/math]
, otteniamo l'equazione CANONICA della circonferenza:[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]
--------------------------------------------------------------
Poiché nel tuo problema il raggio della circonferenza è
[math]r = 4[/math]
e il centro della stessa è nell'origine O (0,0), allora l'equazione della tua particolare circonferenza si trasformerà in:[math](x-0)^2+(y-0)^2 = 4^2 \rightarrow x^2+y^2=16\rightarrow x^2+y^2-16=0[/math]
EQUAZIONE DELLA TUA CIRCONFERENZA
--------------------------------------------------------------
Passiamo allo studio dell'ellisse...
Si dice ellisse il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Non svolgerò tutto il procedimento per arrivare all'equazione della circonferenza perché è piuttosto lungo, anche se si basa sulla costruzione di triangoli come per la circonferenza. Ti faccio comunque il disegno (spero sia corretto, perché l'ho fatto ) :lol:
L'equazione CANONICA dell'ellisse è:
[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]
Un ellisse ha quattro vertici di coordinate:
[math]V_1 (a,0) \\ V_2 (-a,0) \\ V_3 (0,-b) \\ V_4 (0,b)[/math]
--------------------------------------------------------------
Poiché la tua ellisse ha un vertice in (0,5), allora l'equazione si trasformerà in:
[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\pm5^2}=1 \rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{25}=1[/math]
Infine, per imporre il passaggio della tua ellisse dal punto
[math]P (1,\sqrt{21})[/math]
, devi sostituire [math]x[/math]
e [math]y[/math]
niente fedina..scusa ma ho appena letto il tuo pm..ma ha già risp progettista!
grazie mille a entrambi :D
una parte del compito di domani riuscirò a farla grazie a voi xD
una parte del compito di domani riuscirò a farla grazie a voi xD
Ti servono ulteriori delucidazioni? Comunque per terminare l'esercizio, una volta ottenuta l'equazione dell'ellisse e della circonferenza, per trovare le intersezioni basta metterle a sistema.
No no, il resto è chiaro..
Ancora grazie! :move
Ancora grazie! :move
Allora un augurone per domani e che crepi il lupo!
:hi
P.S: Vai a dormire tranquilla. Studiare la notte, il giorno prima della verifica, fa solo male... altrimenti domani sarai stralunata e ripassare in queste ore serve a poco perché la mente è stressata.
:hi
P.S: Vai a dormire tranquilla. Studiare la notte, il giorno prima della verifica, fa solo male... altrimenti domani sarai stralunata e ripassare in queste ore serve a poco perché la mente è stressata.
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