Geometria analitica: ellisse

[raffaele19651]

Ciao.

Non riesco a risolvere questo problema. I calcoli sono molto lunghi e complessi; probabilmente sono io che non trovo la strada più semplice. Spero possiate aiutarmi.

Scrivi l'equazione dell'ellisse avente centro nel punto $C(2,1)$, assi paralleli agli assi cartesiani e tangente nel punto $P(4,2)$ alla retta di equazione $y=-1/2x + 4$.

So che l'equazione canonica dell'ellisse deve traslata di vettore $C(2,1)$.

Metto a sistema questa equazione imponendo il passaggio per il punto $P$ e la condizione di tangenza $\Delta=0$.

E' proprio questa ultima condizione la più calcolosa. C'è un metodo alternativo? Grazie

Raffaele

[mazzarri1]

Provo a buttarla li ma non riesco ora a fare i calcoli vedi tu se può essere una idea

1) eseguo un cambio di sistema di riferimento perchè quella che conosciamo noi poveri mortali come equazione dell'ellisse in realtà è semplificata, SEMPRE con centro nella origine degli assi...

$X=x-2$

$Y=y-1$

2) scrivo equazione retta in questo nuovo SR ($Y=-X/2 +6$) controlla i calcoli

3) il punto P qui avrà copordinate $P(2,1)$

4) ora impongo il passaggio per P e ricavo la relazione

$1/a^2=(b^2-1)/(4b^2)$

5) scrivo la equazione della ellisse mettendo in evidenza la y, cioè della forma y=y(x)

$y=+-b sqrt(1-(x^2/a^2)) = +-b sqrt (1-x^2((b^2-1)/(4b^2)))$

6) la derivata della funzione così scritta calcolata nel punto x=2 deve dare il coefficiente angolare della tangente cioè -1/2

e hai fatto, forse è più semplice forse no... è comunque un esercizio molto lungo e calcoloso

provaci!

ciao!

[donald_zeka]

Ciao, a me non risulta calcoloso.

L'equazione dell'ellisse da te cercata è $(x-2)^2/a^2+(y-1)^2/b^2=1$.

Trasliamola di un vettore $C(-2,-1)$ nell'origine, essa diventa:

$X^2/a^2+Y^2/b^2=1$

E la retta tangente diventa $y=-x/2+2$ tangente in $(2,1)$

Sia $1/a^2=alpha$ e $1/b^2=beta$ e imponiamo il passaggio per $(2,1)$

$4alpha+beta=1$

$beta=1-4alpha$

Imponiamo ora che la retta $y=-x/2+2$ sia tangente sostituendo la $y$:

$alphax^2+(1-4alpha)(-x/2+2)^2=1$

$alphax^2+(1-4alpha)(x^2/4+4-2x)-1=0$

$alphax^2+x^2/4+4-2x-alphax^2-16alpha+8alphax-1=0$

$x^2/4+x(8alpha-2)+3-16alpha=0$

Condizione di tangenza: $(8alpha-2)^2-(3-16alpha)=0$

$64alpha^2+4-32alpha-3+16alpha=0$

$64alpha^2-16alpha+1=0$

$(8alpha-1)^2=0$

$alpha=1/8$

$beta=1/2$

L'equazione cercata è: $(x-2)^2/8+(y-1)^2/2=1$

Forse i calcoli difficili derivano dal non aver traslato l'ellisse nell'origine o non aver sostituito $1/a^2=alpha$ e $1/b^2=beta$.

[raffaele19651]

Grazie a tutti.... splendide risoluzioni

Raffaele