Geometria analitica circonferenza
ragazzi, ho delle difficoltà su 2 problemi, vi scrivo tracce e procedimenti parziali.
1) Trova le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2-4y-1=0 condotte dal punto P di coordinate (-1;5) e calcola le coordinate dei punti A e B di tangenza [SONO ARRIVATO SIN QUI']. Detti A' e B' le proiezioni di A e B sull'asse delle ascisse calcola perimetro e area del quadrilatero ABB'A'.
Sino ai punti di tangenza A ( -2;+3) B (1;4) i conti tornano.
Poi però mi blocco e non mi trovo coi risultati di perimetro e area che, per la cronaca, dovrebbero venire 2p (10+rad10) e A (21/2)
2) Scrivi l'equazione della circonferenza che ha centro nel punto C di coordinate (-1;-2) e raggio 3. [SONO ARRIVATO SIN QUI']. Trova poi le equazioni dei lati del quadrato in essa inscritto avente una coppia di lati parallela alla bisettrice del II e del IV quadrante.
Allora...l'equazione della circonferenza l'ho ricavata ed è x^2+y^2+2x+4y-4=0
so che l'eq della bisettrice del II e IV quadrante è y=-x
ma sinceramente quì non so proprio come continuare.
Vi prego, aiutatemi
Grazie anticipatamente a quanti interverranno.
1) Trova le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2-4y-1=0 condotte dal punto P di coordinate (-1;5) e calcola le coordinate dei punti A e B di tangenza [SONO ARRIVATO SIN QUI']. Detti A' e B' le proiezioni di A e B sull'asse delle ascisse calcola perimetro e area del quadrilatero ABB'A'.
Sino ai punti di tangenza A ( -2;+3) B (1;4) i conti tornano.
Poi però mi blocco e non mi trovo coi risultati di perimetro e area che, per la cronaca, dovrebbero venire 2p (10+rad10) e A (21/2)
2) Scrivi l'equazione della circonferenza che ha centro nel punto C di coordinate (-1;-2) e raggio 3. [SONO ARRIVATO SIN QUI']. Trova poi le equazioni dei lati del quadrato in essa inscritto avente una coppia di lati parallela alla bisettrice del II e del IV quadrante.
Allora...l'equazione della circonferenza l'ho ricavata ed è x^2+y^2+2x+4y-4=0
so che l'eq della bisettrice del II e IV quadrante è y=-x
ma sinceramente quì non so proprio come continuare.
Vi prego, aiutatemi
Grazie anticipatamente a quanti interverranno.
Risposte
I punti proiezione di A e B sull'asse delle ascisse hanno coordinate :A'(-2;3) , B'(1;0)
Per il perimetro a questo punto ti basta trovare le lunghezze dei lati :per A'B' basta fare il valore assoluto della differenza tra le ascisse : $|-2-1|=3$ , per BB' e AA' il valore assoluto della differenza tra le ordinate : BB'=4 , AA'=3
per AB devi usare la formula della distanza tra due punti :$sqrt[(-2-1)^2+(3-4)^2]$
per l'area : poichè è un trapezio (BB' è parallelo ad AA') ed è anche rettangolo, basta usare la formula dell'area: $(BB'+ A A')*(A'B')/2$
2) ho pensato a questa soluzione:
la diagonale del quadrato è il diametro della circonferenza : 6 ; il lato quindi vale $(6sqrt2)/2=3sqrt2$
due lati sono paralleli alla retta y= -x, quindi gli altri due sono paralleli alla sua perpendicolare : y=x
le equazioni generiche dei lati quindi sono : y= - x+q ; y=x+k
se conosci la formula della distanza punto-retta, basta porre la distanza tra il centro ed ognuna di queste rette = a metà lato:
considerando la retta x+y-q=0 : $|-1-2-q|/(sqrt2)=(3sqrt2)/2$ ; risolvendo : $|-3-q|=3$ , $-3-q= + - 3$: ottieni le rette di due lati
procedi allo stesso modo con l'altra retta : x-y+k=0
[mod="@melia"]mi sono permessa di aggiungere un paio di simboli di dollaro e di segni di radice per rendere più fluido il discorso[/mod]
Per il perimetro a questo punto ti basta trovare le lunghezze dei lati :per A'B' basta fare il valore assoluto della differenza tra le ascisse : $|-2-1|=3$ , per BB' e AA' il valore assoluto della differenza tra le ordinate : BB'=4 , AA'=3
per AB devi usare la formula della distanza tra due punti :$sqrt[(-2-1)^2+(3-4)^2]$
per l'area : poichè è un trapezio (BB' è parallelo ad AA') ed è anche rettangolo, basta usare la formula dell'area: $(BB'+ A A')*(A'B')/2$
2) ho pensato a questa soluzione:
la diagonale del quadrato è il diametro della circonferenza : 6 ; il lato quindi vale $(6sqrt2)/2=3sqrt2$
due lati sono paralleli alla retta y= -x, quindi gli altri due sono paralleli alla sua perpendicolare : y=x
le equazioni generiche dei lati quindi sono : y= - x+q ; y=x+k
se conosci la formula della distanza punto-retta, basta porre la distanza tra il centro ed ognuna di queste rette = a metà lato:
considerando la retta x+y-q=0 : $|-1-2-q|/(sqrt2)=(3sqrt2)/2$ ; risolvendo : $|-3-q|=3$ , $-3-q= + - 3$: ottieni le rette di due lati
procedi allo stesso modo con l'altra retta : x-y+k=0
[mod="@melia"]mi sono permessa di aggiungere un paio di simboli di dollaro e di segni di radice per rendere più fluido il discorso[/mod]
Grazie!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Per il secondo probleme c'è anche un altro metodo: se i lati del quadrato sono paralleli alle bisettrici, le sue diagonali sono parallele agli assi. Con questa osservazione puoi subito trovare i quattro vertici (basta sommare o sottrarre il raggio ad una delle coordinate del centro) e dedurne le rette cercate.
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