Geometria analitica

[Maddy892]

Vi prego,ho bisogno del vostro aiuto...
Il mio cervello sta andando in tilt,è tt il giorno che faccio matematica,poichè domani devo consegnare i compiti a scuola.
Mi mancano 2 problemi,ma nonostante sappia che sono facili,non mi viene in mente il procedimento esatto...
Help

1)Si considerino i punti A(2;-2) e C(-8;3).Determinare il punto B appartenente al segmento AC tale che si abbia AB/BC=3/2
2)Determinare il punto P(-5;13) rispetto alla retta 2x-3y-3=0


Grazie mille,se riuscite a darmi la soluzione entro questa sera siete degli angeli

[Sk_Anonymous]

per il primo fai la distanza tra due punti (sia per $AB$,sia per $BC$) prendendo $B(x,y)$....inoltre considera $AB=3/2BC$, elevi al quadrato per levare le radici....trova l'equazione della retta passante per $AC$ che sarà del tipo $ax+by+c=0$,ricavi il valore di $x$ in funzione di $y$,lo sostituisci sopra e il gioco è fatto


Il secondo penso sia formulato male oppure potrebbe significare dib stabilire se il punto appartenga o meno alla retta.
Basta sostituire le sue coordinate nell'equazione della retta:$2*(-5)-3*(13)-3=-10-39-3=...$ poichè il risultato non è zero il punto non appartiene alla retta.

[Maddy892]

Oddio,scusami tanto...ho saltato una parola del secondo problema...
In pratica devo trovare il simmetrico del punto rispetto alla retta.Io l'ho risolto e una soluzione mi viene 11 e -11 ma non sono per nulla convinta...se potessi darci un occhiata,o almeno dirmi il metodo che useresti ti sarei molto grata...

[Sk_Anonymous]

Puoi dirmi il risultato del libro?

[Maddy892]

E invece del primo problema non riesco a risolverlo per via dei calcoli,probabilmente sbaglio qualcosa ma non so cosa...
Se potete,aiutatemi vi prego...a volte in ste cose sono proprio una frana

[Bernhard1]

Ciao a tutti, è il mio primo messaggio!!!sono un appassionato di matematica come tanti di voi!!!
Per il secondo problema puoi muoverti così:
trovi l'equazione della retta passante per P, come direzione la dirigi perpendicolarmente verso la retta data (sostituendo al coefficente angolare della retta passante per P il reciproco e opposto del coefficente angolare della retta data), trovi il nuovo punto H dell'intersezione delle due rette e attraverso la formula inversa del punto medio trovi il punto che stavi cercando!!!!!!

[_nicola de rosa]

1)
La retta $AC$ ha equazione $x+2y+2=0$
Il punto $B$ ha coordinate allora $B=(x,(-2-x)/2)$
$(AB)/(BC)=3/2$
$AB=sqrt((-x+2)^2+(-2-(-2-x)/2)^2)=sqrt(5/4)|2-x|$
$BC=sqrt((x+8)^2+((-2-x)/2-3)^2)=sqrt(5/4)|x+8|$
Per cui
$(AB)/(BC)=|2-x|/|x+8|=3/2$ col vincolo $-8<=x<=2$
La funzione $f(x)=|2-x|/|x+8|$ per $-8<=x<=2$ vale $f(x)=(2-x)/(x+8)$ per cui l'equazione diventa:
$(2-x)/(x+8)=3/2$ da cui si ricava $x=-4$ ed $y=1$ per cui $B=(-4,1)$

2)Calcoliamo la retta perpendicolare alla retta $2x-3y-3=0$ e passante per $P=(-5,13)$. Tale retta ha coefficiente angolare $m=-3/2$ ed ha equazione $y-13=m(x+5)$ da cui $y=-(3/2)x+11/2$. Ora il punto simmetrico $Q$ deve appartenere alla retta $y=-(3/2)x+11/2$ e deve avere la distanza dalla retta $2x-3y-3=0$ pari alla distanza di $P=(-5,13)$ dalla stessa retta $2x-3y-3=0$.
La distanza di $P=(-5,13)$ dalla retta $2x-3y-3=0$ è $d=(|-10-39-3|)/sqrt(2^2+3^2)=52/sqrt(13)=4sqrt(13)$
Il punto $Q$ ha generiche coordinate $Q=(x,-(3/2)x+11/2)$ dovendo appartenere alla retta $y=-(3/2)x+11/2$ e la sua distanza dalla retta $2x-3y-3=0$ è
$d1=|2x-3(-3/2x+11/2)-3|/sqrt(13)=13|x-3|/(2sqrt(13))$
Ora basta risolvere l'equazione $d=d1$ cioè $13|x-3|/(2sqrt(13))=4sqrt(13)$ cioè $|x-3|=8$
Ora se $x>3$ allora l'equazione ha soluzione $x=11$ ed è accettabile ed il punto $Q=(11,-11)$
Se $x<3$ l'equazione ha soluzione $x=-5$ anch'esso accettabile ed il punto trovato è $(-5,13)$ che non è altro che il punto $P$ di partenza.
In conclusione il punto cercato è $Q=(11,-11)$

Proviamo che il punto $Q=(11,-11)$ calcolato è corretto.
Calcoliamo il punto di intersezione tra le due rette $2x-3y-3=0$ ed $y=-(3/2)x+11/2$. Il punto di intersezione ha coordinate $C=(3,1)$. Ma tale punto di intersezione deve essere il punto medio del segmento $PQ$ vista la simmetria.
Tale punto medio ha coordinate $M=((xP+xQ)/2,(yP+yQ)/2)=((11-5)/2,(13-11)/2)=(3,1)=C$ come volevamo dimostrare e questo ci assicura che il punto $Q=(11,-11)$ è quello che cercavamo.

[Sk_Anonymous]

1) Possiamo semplificare il problema al seguente modo.
Siano (vedi fig.) (A',B',C') le proiezioni di A,B,C sull'asse x
e (A",B",C") quelle sull'asse y.
Per Talete si ha:
$(C'B')/(B'A')=(CB)/(BA)$ ovvero:
$(x+8)/(2-x)=2/3$ da cui risolvendo $x=-4$
Analogamente per l'asse y:
$(C''B'')/(B''A'')=(CB)/(BA)$ ovvero:
$(3-y)/(y+2)=2/3$ da cui risolvendo $y=1$
In definitiva $B(-4,1)$
2) Utilizzo alcuni risultati di nicasamarciano.
La perpendicolare per P alla retta data e':
$y=-(3/2)x+11/2$ ed essa interseca la retta data nel punto C(3,1)
Ora e' sufficiente scrivere che C e' il punto medio tra P ed il simmetrico
che indico con Q(x,y) e cioe':
$(((-5+x)/2=3),((13+y)/2=1))$
da cui si ricava che:
$x=11,y=-11$ che sono le richieste coordinate del simmetrico.
karl