Geometria analitica

[Alessandro214]

Salve a tutti;
mi sono appena associato al gruppo e voglio subito verificarne le capacità!!!
Ho bisogno di dimostrare la formula che mi permette di calcolare la distanza di un punto da una retta, come si fa????

GRAZIE E CIAO

[fireball1]

Siano M ed N i punti in cui la retta generica ax+by+c=0, con a e b diversi da zero,
interseca rispettivamente l'asse x e l'asse y, e sia OH la distanza di O dalla retta.
Dall'equazione generica ax+by+c=0 ricaviamo:
per x=0: y=-c/b
Quindi il punto N in cui la retta interseca l'asse y avrà coordinate N(0;-c/b)
per y=0: x=-c/a
Quindi il punto M in cui la retta interseca l'asse x avrà coordinate M(-c/a;0)
Ora possiamo dire che ON=|-c/b| e OM=|-c/a|
Osserva che il triangolo OMN è rettangolo.
Applicando ad esso il teorema di Pitagora si ha:
MN=sqrt(c^2/a^2+c^2/b^2)=|c/(ab)|*sqrt(a^2+b^2)
Siccome ON*OM=MN*OH, che sono entrambi prodotti che esprimono la doppia
area del triangolo considerato OMN, si può scrivere:
OH*|c/(ab)|*sqrt(a^2+b^2)=|-c/a|*|-c/b|
Ora essendo OH=d, si può finalmente scrivere la formula
che esprime la distanza di una retta dall'origine:
d=|c|/sqrt(a^2+b^2)
Ora: per quanto riguarda la distanza di una retta da un punto, basta
traslare il sistema di riferimento in modo che si porti l'origine in un
generico punto P(x0;y0).
I "nuovi assi" avranno equazione:
{x=X+x0
{y=Y+y0
Perciò l'equazione della retta in questo nuovo sistema di riferimento diventerà:
a(X+x0)+b(Y+y0)+c=0
cioè
aX+bY+ax0+by0+c=0
Ho evidenziato questi tre termini per farti capire che tutto quello è il
termine noto
Quindi a questo punto si può scrivere:
d=|ax0+by0+c|/sqrt(a^2+b^2)
che esprime la distanza di una retta da un qualsiasi punto P.

[Alessandro214]

Dimostrazione impeccabile e chiara... GRAZIE!!!