Geometria analitica
1) Due vertici di un triangolo sono i punti A (4, 0), B(0, 3). Determinare le coordinate del terzo vertice C, situato nel primo quadrante e sulla perpendicolare alla retta AB condotta per l'origine degli assi, in modo che l'area del triangolo ABC sia 13/2.
(Es. 652)
2) Determinare le rette passanti per A(3, -1) e che determinano, insieme agli assi, un triangolo di area 2.
(Es. 9.49)
Ringrazio.
(Es. 652)
2) Determinare le rette passanti per A(3, -1) e che determinano, insieme agli assi, un triangolo di area 2.
(Es. 9.49)
Ringrazio.
Risposte
Secondo esercizio. Le rette che passano per il punto A hanno equazione:
y+1=m(x-3), perciò y=mx-3m-1.
Metto a sistema con l'asse x:
{y=mx-3m-1
{y=0
mx-3m-1=0
x=(3m+1)/m
Quindi P[(3m+1)/m ; 0] è il punto in cui la retta taglia l'asse x.
Metto a sistema con l'asse y:
{y=mx-3m-1
{x=0
y=-3m-1
Quindi Q(0 ; -3m-1) è il punto in cui la retta taglia l'asse y.
Area del triangolo=(base*altezza)/2
In questo caso si tratta di un triangolo rettangolo, dove un cateto è uguale al segmento OP [che vale (3m+1)/m] e l'altro è OQ (che vale -3m-1). Perciò si avrà:
(1/2)*[(3m+1)/m]*(-3m-1)=2
e risolvendo questa equazione si ottiene:
m = -1/9 e m = -1
Sostituendo ora i valori di m trovati nell'equazione generica del fascio si trova che le rette hanno equazione:
y=-x+2
y=(-1/9)x-2/3
Salvo errori da parte mia.
Modificato da - fireball il 04/01/2004 12:53:10
y+1=m(x-3), perciò y=mx-3m-1.
Metto a sistema con l'asse x:
{y=mx-3m-1
{y=0
mx-3m-1=0
x=(3m+1)/m
Quindi P[(3m+1)/m ; 0] è il punto in cui la retta taglia l'asse x.
Metto a sistema con l'asse y:
{y=mx-3m-1
{x=0
y=-3m-1
Quindi Q(0 ; -3m-1) è il punto in cui la retta taglia l'asse y.
Area del triangolo=(base*altezza)/2
In questo caso si tratta di un triangolo rettangolo, dove un cateto è uguale al segmento OP [che vale (3m+1)/m] e l'altro è OQ (che vale -3m-1). Perciò si avrà:
(1/2)*[(3m+1)/m]*(-3m-1)=2
e risolvendo questa equazione si ottiene:
m = -1/9 e m = -1
Sostituendo ora i valori di m trovati nell'equazione generica del fascio si trova che le rette hanno equazione:
y=-x+2
y=(-1/9)x-2/3
Salvo errori da parte mia.
Modificato da - fireball il 04/01/2004 12:53:10
Non mi è chiaro. Il primo calcolo a me risulta: x+y-2=0 l'altro non sono riuscita a farlo. Grazie!
Cara Matilde, scrivere x+y-2=0 non è forse la stessa cosa che scrivere y=-x+2 ??
Ti mostro anche graficamente che la mia soluzione è senz'altro corretta:
La retta in blu è y=-x+2, la retta in rosso è y=(-1/9)x-2/3
Modificato da - fireball il 02/01/2004 15:37:32
Ti mostro anche graficamente che la mia soluzione è senz'altro corretta:
La retta in blu è y=-x+2, la retta in rosso è y=(-1/9)x-2/3
Modificato da - fireball il 02/01/2004 15:37:32
Una precisazione alla buona risposta di fireball sul secondo esercizio.
I cateti del triangolo sono:
OP=abs((3m+1)/m) e OQ=abs(-3m-1) abs =valore assoluto.
Pertanto si ottengono due equazioni:
1)(3m+1)/m*(-3m-1)=4 da cui m1=-1/9 ,m2=-1
2)(3m+1)/m*(-3m-1)=-4 che da' radici immaginarie
(ma che,a priori, avrebbe potuto generare altre soluzioni)
karl.
I cateti del triangolo sono:
OP=abs((3m+1)/m) e OQ=abs(-3m-1) abs =valore assoluto.
Pertanto si ottengono due equazioni:
1)(3m+1)/m*(-3m-1)=4 da cui m1=-1/9 ,m2=-1
2)(3m+1)/m*(-3m-1)=-4 che da' radici immaginarie
(ma che,a priori, avrebbe potuto generare altre soluzioni)
karl.
Ho fatto una confusione tale da non riuscire neppure a leggere nel modo corretto il Vostro risultato!!
Primo esercizio. L'equazione della retta dati due punti si trova con:
(x-xA)/(xB-xA)=(y-yA)/(yB-yA) con xA, yA coordinate del punto A; xB, yB
coordinate del punto B. Sostituendo i valori del problema si ottiene:
(x-4)/(-4)=y/3
(4-x)/4=y/3
3(4-x)-4y=0
-3x-4y+12=0
3x+4y-12=0
Questa è l'equazione della retta cercata. Il suo coeff. angolare
è -3/4, quindi quello della perpendicolare sarà 4/3.
Il problema dice "condotta per l'origine degli assi", perciò la
sua equazione sarà y=(4/3)x.
Il punto C ha quindi per coordinate [x;(4/3)x].
Ora sappiamo che l'area dev'essere 13/2.
La base AB si può facilmente calcolare con la formula della
distanza tra due punti, e misura 5.
L'altezza (cui appartiene C) si può calcolare con la formula
della distanza punto-retta, con la retta in forma implicita.
La formula è |ax0+by0+c|/sqrt(a^2+b^2), dove in questo caso x0 e
y0 sono le coordinate del punto C. Sostituendo allora i valori trovati
si trova che l'altezza del triangolo misura |3x+(16/3)x-12|/5
Ora l'area dev'essere 13/2, perciò:
(1/2)*5*[|3x+(16/3)x-12|/5] = 13/2
semplificando il 5 e moltiplicando ambo i membri per 2 si ottiene:
|3x+(16/3)x-12| = 13
Questa è allora l'equazione che risolve il problema. Le sue soluzioni
sono due: x = 3 e x = -3/25 perciò il punto C può avere coordinate diverse.
Fatto questo si sostituiscono i valori di x appena trovati nell'equazione
della retta y=(4/3)x e si trova che le possibili ordinate valgono 4 e -4/25.
Perciò il punto può essere C(3;4), ma anche C(-3/25;-4/25).
Fammi sapere se qualcosa non ti è chiaro.
Modificato da - fireball il 03/01/2004 11:17:37
(x-xA)/(xB-xA)=(y-yA)/(yB-yA) con xA, yA coordinate del punto A; xB, yB
coordinate del punto B. Sostituendo i valori del problema si ottiene:
(x-4)/(-4)=y/3
(4-x)/4=y/3
3(4-x)-4y=0
-3x-4y+12=0
3x+4y-12=0
Questa è l'equazione della retta cercata. Il suo coeff. angolare
è -3/4, quindi quello della perpendicolare sarà 4/3.
Il problema dice "condotta per l'origine degli assi", perciò la
sua equazione sarà y=(4/3)x.
Il punto C ha quindi per coordinate [x;(4/3)x].
Ora sappiamo che l'area dev'essere 13/2.
La base AB si può facilmente calcolare con la formula della
distanza tra due punti, e misura 5.
L'altezza (cui appartiene C) si può calcolare con la formula
della distanza punto-retta, con la retta in forma implicita.
La formula è |ax0+by0+c|/sqrt(a^2+b^2), dove in questo caso x0 e
y0 sono le coordinate del punto C. Sostituendo allora i valori trovati
si trova che l'altezza del triangolo misura |3x+(16/3)x-12|/5
Ora l'area dev'essere 13/2, perciò:
(1/2)*5*[|3x+(16/3)x-12|/5] = 13/2
semplificando il 5 e moltiplicando ambo i membri per 2 si ottiene:
|3x+(16/3)x-12| = 13
Questa è allora l'equazione che risolve il problema. Le sue soluzioni
sono due: x = 3 e x = -3/25 perciò il punto C può avere coordinate diverse.
Fatto questo si sostituiscono i valori di x appena trovati nell'equazione
della retta y=(4/3)x e si trova che le possibili ordinate valgono 4 e -4/25.
Perciò il punto può essere C(3;4), ma anche C(-3/25;-4/25).
Fammi sapere se qualcosa non ti è chiaro.
Modificato da - fireball il 03/01/2004 11:17:37
Questi problemi li trovo veramente difficili, probabilmente devo andarmi a ripassare qualcosa... Vi chiedo se, gentilmente potete farmi il disegno forse mi dinventano più chiari! Mi sono confrontata con quelli di francesca perchè ho visto che anche keplero cerca di esercitarsi: ma io sono un disastro.
GRAZIE!!
GRAZIE!!
Il disegno del secondo già te l'ho fatto.
Io l'anno scorso ho fatto il terzo e devo dire che anche per me erano molto difficili, ma poi mi son sbloccato con un compito in classe sulla parabola e da allora è andato tutto ok!
Io l'anno scorso ho fatto il terzo e devo dire che anche per me erano molto difficili, ma poi mi son sbloccato con un compito in classe sulla parabola e da allora è andato tutto ok!
Il disegno del primo problema
C' è un po' spostato per motivi grafici
C' è un po' spostato per motivi grafici
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