Geometria Analitica

[michele.assirelli]

Siano dati i punti:

$A(2,0)$ e $B(0,4)$

Determinare il punto $P∈AB$ tale che $BP=3AP$

Ho impostato il problema nel modo seguente

$y = -2x + 4$ Retta per $AB$

Dunque $P(x,-2x+4)$

$AP=((2-x)^2 + (2x-4)^2)^(1/2) = 5^(1/2)*(x-2)$
e analogamente $BP = 5^(1/2)x$

Imponente $BP=3AP$ risulta $x=3$

Il testo fornisce come soluzione $x=3/2$
Qualcuno mi aiuta a trovare l'errore?
Il calcolo di $AP$ e $BP$ controllato con Wolfram dovrebbe essere corretto.

[axpgn]

Perché hai dato per scontato che la radice dovesse venire $x-2$ invece che $2-x$

[michele.assirelli]

Giusto...
Quindi ci sono due punti che appartengono alla retta $y=-2x+4$ e tali per cui $BP=3AP$ ma solamente uno di questi due appartiene anche al segmento $AB$.

Nello scioglimento del valore assoluto però non dovrei mettere a sistema

$2-x$ con $x<0$
che darebbe risultato non accettabile visto che $x=3/2$ ?

Grazie

[axpgn]

"WeP":Nello scioglimento del valore assoluto …

Cioè? Quando?

[michele.assirelli]

Se ho capito bene dovrebbe venire così:

$AP = sqrt{5} |x-2|$
$BP = sqrt{5}x$

$sqrt{5} |x-2| = 3sqrt{5}x$

Da cui

\begin{equation}
\begin{cases}
x>0\\sqrt{5}(x-2) = 3sqrt{5}x
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
x<0\\sqrt{5} (2-x) = 3sqrt{5}x
\end{cases}
\end{equation}

[axpgn]

Perché $x>0$ invece di $x-2>0$ ?

[michele.assirelli]

Ops che erroraccio

Grazie

[@melia]

Ma, invece di lavorare con tutto quasti valori assoluti, non era più semplice lasciare le radici?
$3sqrt(5(x-2)^2) = sqrt(5x^2)$ che diventa $45(x-2)^2-5x^2=0$ e poi basta risolvere l'equazione di secondo grado accettando solo soluzioni comprese tra 0 e 2.

[michele.assirelli]

Sì a posteriori era più semplice la risoluzione dell'equazione irrazionale piuttosto che di quella con valore assoluto.

Tuttavia durante l'esercizio sembrerebbe logico portare fuori dalla radice i termini al quadrato.