Geometria (39230)

[the.track]

Considerati 3 vettori

[math]\vec{v}\; , \vec{u}\; , \vec{w}\;[/math]

e definito il prodotto misto come

[math]v \cdot ( v \times w)[/math]

Ho dimostrato che il valore assoluto di questo equivale al volume del parallelepipedo avente come spigoli i 3 vettori.

Dopo però si fa la seguente considerazione (che è quella che non ho capito):

"Dati 4 punti dello spazio euclideo A_0, A_1, A_2, A_3, che non siano contenuti in uno stesso piano, possiamo considerare il parallelepipedo P(A_0, A_1, A_2, A_3) ed il simplesso (tetraedro)

[math]\Delta[/math]

(A_0, A_1, A_2, A_3), ovvero i sottoinsiemi

[math]P(A_0, A_1, A_2, A_3)=\{ A_0+\sum_{i=1}^i \lambda _i \vec{A_0A_i}\|\lambda_i\; \in\; [0,1], \; i=1,...,3 \rbrace [/math]

ed

[math]\Delta(A_0, A_1, A_2, A_3)=\{A_0+\sum_{i=1}^3\; \lambda _i\vec{A_0A_i}\|\lambda _i \;\in\; [0,1], \; i=1,2,3, \; \sum_{i=1}^3\lambda _i \leq 1\rbrace [/math]

.

Abbiamo visto che il volume del parallelepipedo P(A_0, A_1, A_2, A_3) si decompone nell'unione di 6=3! simplessi aventi tutti volume uguale al volume di

[math]\Delta (A_0, A_1, A_2, A_3)[/math]

."

Qualcuno mi può spiegare cosa si intende?

[ciampax]

Allora, puoi considerare i tre vettori

[math]\vec{A_0 A_i},\ i=1,2,3[/math]

come i tre vettori della precedente dimostrazione. Questo vuol dire che il valore assoluto del loro prodotto misto è pari al volume del parallelepipedo che ha i quattro punti dati come base (ricorda che non sono complanari).

Ora è una semplice questione geometrica: prova a disegnarti nel piano cartesiano tridimensionale 4 punti (senza perdere in generalità, prendi i punti che hanno queste coordinate:

[math]A_0(0,0,0),\ A_1(1,0,0),\ A_2(0,1,0),\ A_3(0,0,1)[/math]

Disegnati poi sia il tetraedro che il parallelepipedo, seguendo le definizioni. Vedrai che, in effetti, P è formato da 6 simplessi congruenti.

L'unica cosa che mi chiedo è quel "abbiamo visto": hai fatto qualche altra dimostrazione in precedenza? O manca qualche passaggio?

[the.track]

Beh ho il libro, versione ridotta per il corso di fisica (fra l'altro scritto dalla mia prof). L'ho letto tutto ovviamente ma ti garantisco che non ha mai accennato a "rapporti" fra volumi, o in genere la relazione che intercorre fra il parallelepipedo e il tetraedro. Non so se sia una parte del programma che ha omesso.

Comunque ho capito finalmente quelle due cose lì, mi sono preso anche il libro di geometria di mio padre, però il fatto dei volumi mi sfugge ancora. Adesso cercherò di capire. Risponderò mercoledì credo, quindi se non ti arriva nulla da me non è per mancanza di rispetto o cos'altro. :)

Intanto grazie :)

[ciampax]

Basta che ti fai un disegno e lo vedi... e capisci pure come dimostrarlo!