Geometria... (33392)
ciaoo:hi..
la geometria nn fa proprio x me:dontgetit.. qualkuno mi puo aiutare??
1) trova la misura del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo isoscele ABC che ha il perimetro lungo 108 cm sapendo che il doppio del lato supera di 12 cm la base.
2) per il vertice dell'angolo retto A di un triangolo rettangolo ABC si conduce una retta e si chiamano H e K le proiezioni rispettivamente di B e C su di essa: dimostra che i triangoli ABH e ACK sono simili
grazie in anticipo.. baci
la geometria nn fa proprio x me:dontgetit.. qualkuno mi puo aiutare??
1) trova la misura del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo isoscele ABC che ha il perimetro lungo 108 cm sapendo che il doppio del lato supera di 12 cm la base.
2) per il vertice dell'angolo retto A di un triangolo rettangolo ABC si conduce una retta e si chiamano H e K le proiezioni rispettivamente di B e C su di essa: dimostra che i triangoli ABH e ACK sono simili
grazie in anticipo.. baci
Risposte
1) il centro della circonferenza circoscritta ad un triangolo e' il punto di incontro degli assi del triangolo.
Per prima cosa scriviamo in linguaggio matematico i dati forniti.
Chiamiamo AB la base e BC e AC i lati obliqui (uguali)
Per ipotesi, sappiamo gia' che BC=AC
I due dati forniti sono:
AB+BC+AC=108 --> AB+BC+BC=108 (perche' BC=AC, il triangolo e' isoscele..)
e dunque: AB+2BC=108
Altra informazione: il doppio del lato (2BC) supera di 12 la base..
ovvero
2BC=AB+12
Ora (trattando BC e AB come incognite, se ti mette piu' comodo puoi chiamarli x e y)
che ti dà come soluzione
A questo punto sai che: l'asse della base di un triangolo isoscele e' anche altezza.
Chiama H il piede dell'altezza relativa ad AB
il triangolo HBC e rettangolo in H.
Chiama O il centro della circonferenza, e K il piede dell'asse relativo al lato BC. il triangolo CKO e' rettangolo in K. ed ha l'angolo KCO coincidente con l'angolo BCH del triangolo CBH.
Pertanto il triangolo CKO e' simile al triangolo CHB (hanno due angoli congruenti, di conseguenza anche il terzo...)
Quindi, dal momento che il raggio della circonferenza e' proprio CO, possiamo considerare che:
CK e' il cateto corrispondente a CH
CO e' l'ipotenusa (corrispondente a CB)
CH la calcoliamo con il Teorema di Pitagora.
Poi attraverso una proporzione calcoli CO e trovi il raggio della circonferenza..
Se e' chiaro, scrivimelo, cosi' passiamo al secondo problema..
Per prima cosa scriviamo in linguaggio matematico i dati forniti.
Chiamiamo AB la base e BC e AC i lati obliqui (uguali)
Per ipotesi, sappiamo gia' che BC=AC
I due dati forniti sono:
AB+BC+AC=108 --> AB+BC+BC=108 (perche' BC=AC, il triangolo e' isoscele..)
e dunque: AB+2BC=108
Altra informazione: il doppio del lato (2BC) supera di 12 la base..
ovvero
2BC=AB+12
Ora (trattando BC e AB come incognite, se ti mette piu' comodo puoi chiamarli x e y)
[math] \{ \bar {AB}+2 \bar {BC}=108 \\ 2 \bar {BC}= \bar {AB}+12 [/math]
che ti dà come soluzione
[math] \bar {AB}=48 \ \bar {BC}=30 [/math]
A questo punto sai che: l'asse della base di un triangolo isoscele e' anche altezza.
Chiama H il piede dell'altezza relativa ad AB
il triangolo HBC e rettangolo in H.
Chiama O il centro della circonferenza, e K il piede dell'asse relativo al lato BC. il triangolo CKO e' rettangolo in K. ed ha l'angolo KCO coincidente con l'angolo BCH del triangolo CBH.
Pertanto il triangolo CKO e' simile al triangolo CHB (hanno due angoli congruenti, di conseguenza anche il terzo...)
Quindi, dal momento che il raggio della circonferenza e' proprio CO, possiamo considerare che:
CK e' il cateto corrispondente a CH
CO e' l'ipotenusa (corrispondente a CB)
CH la calcoliamo con il Teorema di Pitagora.
Poi attraverso una proporzione calcoli CO e trovi il raggio della circonferenza..
Se e' chiaro, scrivimelo, cosi' passiamo al secondo problema..
nn ho capito la proporzione:con..
La proporzione e' tra i due triangoli rettangoli
Quando hai dimostrato che due triangoli sono simili, allora sai che il rapporto tra i lati corrispondenti e' costante
Prendi, ad esempio, 2 triangoli rettangoli ABC e A'B'C'
Con gli angoli in A e A', B e B', C e C' congruenti.
Chiama A e A' il vertice corrispondente all'angolo retto.
Allora sai che
Quindi dal momento che conosci tutti i lati del triangolo rettangolo meta' del triangolo isoscele, e dal momento che hai dimostrato che il triangolo COK e' simile al triangolo CBH, puoi fare la proporzione
e pertanto, sapendo che CK e' meta' del lato CB perche' K e' il piede dell'asse e l'asse sai che e' la perpendicolare al lato nel suo punto medio
e trovi il cateto del triangolo CKO nonche' il raggio della circonferenza circoscritta
Quando hai dimostrato che due triangoli sono simili, allora sai che il rapporto tra i lati corrispondenti e' costante
Prendi, ad esempio, 2 triangoli rettangoli ABC e A'B'C'
Con gli angoli in A e A', B e B', C e C' congruenti.
Chiama A e A' il vertice corrispondente all'angolo retto.
Allora sai che
[math] \bar {AB}: \bar {A'B'}=\bar {BC}: \bar {B'C'}=\bar {AC}: \bar {A'C'} [/math]
Quindi dal momento che conosci tutti i lati del triangolo rettangolo meta' del triangolo isoscele, e dal momento che hai dimostrato che il triangolo COK e' simile al triangolo CBH, puoi fare la proporzione
[math] \bar {CH} : \bar {CK}=\bar {CB}: \bar {CO} [/math]
e pertanto, sapendo che CK e' meta' del lato CB perche' K e' il piede dell'asse e l'asse sai che e' la perpendicolare al lato nel suo punto medio
[math] \bar {CO}= \frac{ \bar{CK} \cdot \bar{CB}}{ \bar{CO}} [/math]
e trovi il cateto del triangolo CKO nonche' il raggio della circonferenza circoscritta
ok grazie.. ho capito
adesso mi puoi postare il secondo??
adesso mi puoi postare il secondo??
La retta che taglia l'angolo A forma due angoli di ampiezza, rispettivamente, x e
(90-x), dal momento che la somma dei due angoli sara' appunto 90.
Poniamo CAK=x e di conseguenza KAB=90-x
Quindi: il triangolo ACK avra':
Un angolo di 90 gradi (ricordati che CK e' proiezione).
Una angolo di x gradi
ed il terzo angolo, pertanto, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo e' 180 gradi, sara' 180-90-x=90-x.
Il triangolo AHB avra': un angolo di 90 gradi
l'angolo HAB=90-x
E pertanto il terzo angolo (HBA) sara' 180-90-(90-x)=180-90-90+x=x
Pertanto, qualunque sia il valore di x, entrambi i triangoli avranno un angolo di 90 gradi, un angolo x e un angolo 90-x, e pertanto sono simili.
(90-x), dal momento che la somma dei due angoli sara' appunto 90.
Poniamo CAK=x e di conseguenza KAB=90-x
Quindi: il triangolo ACK avra':
Un angolo di 90 gradi (ricordati che CK e' proiezione).
Una angolo di x gradi
ed il terzo angolo, pertanto, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo e' 180 gradi, sara' 180-90-x=90-x.
Il triangolo AHB avra': un angolo di 90 gradi
l'angolo HAB=90-x
E pertanto il terzo angolo (HBA) sara' 180-90-(90-x)=180-90-90+x=x
Pertanto, qualunque sia il valore di x, entrambi i triangoli avranno un angolo di 90 gradi, un angolo x e un angolo 90-x, e pertanto sono simili.
grazie.. ciaoo:hi
Chiudo.
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