[Geometria - 2a liceo] - Triangolo rettangolo ed equivalenza
Salve a tutti Voi! 
Potete aiutarmi nella risoluzione di questo problema di geometria euclidea?
Si abbia sul piano $theta$ un rettangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$. Sapendo che il cateto minore $AB$ misura $2sqrt(2) cm$, tracciare la perpendicolare ad $AB$, che incontri rispettivamente in $H$ e $K$ il cateto minore e l'ipotenusa e che divida il triangolo dato in due poligoni equivalenti (cioè il trapezio rett. $AHKC$ e il triangolo rett. $HBK$)".
Bisogna in pratica trovare la lunghezza di $HB$, o di $AH$, ma non so come procedere. Ho provato a calcolarmi la sezione aurea di $AB$ (che mi è uscita $sqrt(10)-sqrt(2) cm$), ma non so come andare avanti o che ragionamento fare.
Ringrazio in anticipo
Potete aiutarmi nella risoluzione di questo problema di geometria euclidea?
Si abbia sul piano $theta$ un rettangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$. Sapendo che il cateto minore $AB$ misura $2sqrt(2) cm$, tracciare la perpendicolare ad $AB$, che incontri rispettivamente in $H$ e $K$ il cateto minore e l'ipotenusa e che divida il triangolo dato in due poligoni equivalenti (cioè il trapezio rett. $AHKC$ e il triangolo rett. $HBK$)".
Bisogna in pratica trovare la lunghezza di $HB$, o di $AH$, ma non so come procedere. Ho provato a calcolarmi la sezione aurea di $AB$ (che mi è uscita $sqrt(10)-sqrt(2) cm$), ma non so come andare avanti o che ragionamento fare.
Ringrazio in anticipo
Risposte
Premetto che sono nuovo, ancora non ho confidenza con LateX e quindi per ora mi vedo costretto a comunicare con mezzi rudimentali. Quindi vi prego di avere pazienza.
Iniziamo dunque. Dato il triangolo ABC e dato AB= 2*rad(2) la perpendicolare a questo lato interseca in H e K rispettivamente AB e l'ipotenusa BC. Questo significa che abbiamo due figure geometriche, un trapezio rettangolo e un triangolo rettangolo individuati dai vertici AHKC e HBK.
Orbene la perpendicolare divide AB in due parti, AH e HB. Questo significa che AH+HB=AB e inoltre il segmento HK dev'essere proporzionale a AC, ovvero deve esistere un numero a € R per cui ho:
HK=a*AC ;
allo stesso modo deve esistere un numero b€R per cui ho :
HB=b*AB ;
Si noti che entrambi i numeri sono minori di uno. Detto questo, se per equivalenza intendiamo l'uguaglianza dell'estensione (l'area), allora deve valere che l'area del triangolo ABC dev'essere il doppio di ciascuna delle due aree. Ovvero, per esempio:
AB*AC/2 - (a*AC*b*AB)/2 = AB*AC/4 ;
E da qui mi ricavo a*b=1/2 .
L'are del trapezio rettangolo vale :
(AC+HK)*AH/2 =AB*AC/4 ;
Sostituendo HK nella equazione di sopra e tenendo conto che AH=AB-HB trovo un'altra eequazione con incognite a e b:
a-b-a*b=-1/2 .
mettendo a sistema la prima equazione e quest'ultima in a e b incognite trovo il valore di b che risulta essere 1/rad(2) (ho scartato la radice negativa perché non avrebbe senso).
Detto ciò è a=1/rad(2) .
E quindi HB= 2 centimetri.
Iniziamo dunque. Dato il triangolo ABC e dato AB= 2*rad(2) la perpendicolare a questo lato interseca in H e K rispettivamente AB e l'ipotenusa BC. Questo significa che abbiamo due figure geometriche, un trapezio rettangolo e un triangolo rettangolo individuati dai vertici AHKC e HBK.
Orbene la perpendicolare divide AB in due parti, AH e HB. Questo significa che AH+HB=AB e inoltre il segmento HK dev'essere proporzionale a AC, ovvero deve esistere un numero a € R per cui ho:
HK=a*AC ;
allo stesso modo deve esistere un numero b€R per cui ho :
HB=b*AB ;
Si noti che entrambi i numeri sono minori di uno. Detto questo, se per equivalenza intendiamo l'uguaglianza dell'estensione (l'area), allora deve valere che l'area del triangolo ABC dev'essere il doppio di ciascuna delle due aree. Ovvero, per esempio:
AB*AC/2 - (a*AC*b*AB)/2 = AB*AC/4 ;
E da qui mi ricavo a*b=1/2 .
L'are del trapezio rettangolo vale :
(AC+HK)*AH/2 =AB*AC/4 ;
Sostituendo HK nella equazione di sopra e tenendo conto che AH=AB-HB trovo un'altra eequazione con incognite a e b:
a-b-a*b=-1/2 .
mettendo a sistema la prima equazione e quest'ultima in a e b incognite trovo il valore di b che risulta essere 1/rad(2) (ho scartato la radice negativa perché non avrebbe senso).
Detto ciò è a=1/rad(2) .
E quindi HB= 2 centimetri.
ABC e HBK sono simili e l'area del primo è doppia di quella del secondo, ricordando che le aree di due figure simili stanno tra loro come i quadrati di due lati corrispondenti si ha $bar(AB)^2/bar(HB)^2=(A(ABC))/(A(HBK))=2$ da cui $bar(HB)=bar(AB)/sqrt2=2$
Non ho capito. Perché l'area di ABC è doppia di quella di HBK?
Perché il segmento HK divide il triangolo in due parti equivalenti.
Esatto, per le conseguenze del teorema di Talete. Ma basta questo per dire che le loro aree sono una il doppio dell'altra?
Ma lascia stare Talete. Prendi una figura F e dividila in due figure equivalenti, quale può essere l'area di ciascuna di esse se non la metà di quella di F?
E' lapalissiano, terribilmente lapalissiano, come ho fatto a non pensarci prima
Ok, ora non so se sono stupido ma non riesco a capire quel "da cui" 
Nono ok ok niente ho capito tutto =) Grazie @melia =)
$bar(AB)^2/bar(HB)^2=(A(ABC))/(A(HBK))=2$ quindi
$bar(AB)^2/bar(HB)^2=2$,
$bar(AB)^2=2*bar(HB)^2$
$bar(HB)^2=bar(AB)^2/2$
$bar(HB)=bar(AB)/sqrt2$
$bar(HB)=(2sqrt2)/sqrt2=2$
ci sei?
$bar(AB)^2/bar(HB)^2=2$,
$bar(AB)^2=2*bar(HB)^2$
$bar(HB)^2=bar(AB)^2/2$
$bar(HB)=bar(AB)/sqrt2$
$bar(HB)=(2sqrt2)/sqrt2=2$
ci sei?
Eccola lì, grazie millissime (=
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