Geometri analitica, fascio proprio di rette

[vale9319]

Ciao a tutti!
In diversi problemi mi si domanda di determinare per quali valori di k, assegnata una equazione del fascio contenente un parametro, le rette del fascio hanno una data proprietà...tipo distano meno di 1 dall'origine, intersecano un segmento di estremi pinco e pallino.
Esiste un metodo generale algebrico o grafico per risolvere questi quesiti?
Vi lascio un paio di es. per chiarire il mio dubbio:

1-dato il fascio proprio di equazione
kx-(3k+2)y+2k=0
centro: C(-2;0)
determinare le rette del fascio che intersecano il segmento di estremi A (0;6) e B(-2;-2)
La soluzione che il libro indica è )meno infinito; -3/4) U (-2/3; più infinito(

2-dato il fascio di equazione:
(k+2)x+3y-4k+2=0
determinare le rette del fascio che distano meno di uno dall'origine
Soluzione: k appartiene all'intervallo )0;4(
Grazie mille per il vostro aiuto
Vale

[giammaria2]

Esiste e non è difficile: fai la figura, individua i valori di k corrispondenti alle condizioni estreme e disegna quelle rette (nel tuo primo problema, quelle passanti per A e B; nel secondo, quelle distanti 1 dall'origine). Conviene disegnare anche le rette corrispondenti ai valori zero e infinito di k. A questo punto osserva la figura: al variare di k, cosa succede alla retta? Quali sono le rette che vano bene? E ne deduci la risposta.

[vale9319]

Non esiste un metodo algebrico?
Dati i punti estremi e le ascisse, i punti della retta hanno ascissa compresa tra quelle degli estremi...non si può procedere senza fare riferimento al grafico?

[giammaria2]

Sì, volendo esiste, ma mi sembra meno facile. Per il secondo problema, puoi calcolare la distanza delle generica retta dall'origine ed imporre che sia minore di uno. Per il primo, puoi calcolare l'intersezione fra la generica retta ed AB ed imporre che la sua ascissa sia compresa fra -2 e 0, o che la sua ordinata stia fra -2 e 6.

[vale9319]

Ok ma una volta messi in sistema fascio di rette equazione retta contenente segmeno AB e condizioni su ordinata ed ascissa, come si procede?
Se uso il metodo della sostituzione ho comunque 2 incognite nell'eq. del fascio e, inoltre, come sostituire un valore x con un altro se solo in quale inervallo si trova e non il valore? Nessuno riuscirebbe a farmi un piccolo esempio?

[giammaria2]

Hai sicuramente studiato i sistemi letterali, cioè quelli in cui c'erano anche altre lettere oltre alle incognite: si procede nello stesso identico modo. In altre parole, si calcolano x, y e dopo l'uguale comparirà la lettera k (per esprimerci in termini matematici, si calcolano x, y in funzione di k). Solo a questo punto imponi la tua limitazione.