Geom. Analitica - Esercizi sul piano cartesiano
Es. Trova per quali valori di \(\displaystyle k \) il punto \(\displaystyle A(2 - |k|; \frac{1 - 2k}{k^2 - 4}) \) appartiene al I quadrante.
Ho pensato di risolvere questo sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 2 - |k| \ge 0 \\ \frac{1 - 2k}{k^2 - 4} \ge 0 \end{cases} \)
La prima è una disequazione con valore assoluto, quindi devo risolvere questo sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 2 + k \ge 0 \\ 2 - k \ge 0 \end{cases} \)
E mi viene:
\(\displaystyle - 2 \le k \le 2 \)
L'altra è una disequazione fratta quindi pongo numeratore \(\displaystyle \ge 0 \) e denominatore \(\displaystyle > 0 \) e poi prendo i segni positivi:
N: \(\displaystyle k \le \frac{1}{2} \); D: \(\displaystyle k^2 > 4 \)
\(\displaystyle k^2 > 4 \) è risolta per tutti i valori reali tranne \(\displaystyle -2 \) e \(\displaystyle 2 \). Riporto sulla retta con l'altra soluzione e prendo i segni positivi. Mi viene:
\(\displaystyle k \le \frac{1}{2} \wedge k \not= - 2 \)
Ora prendo le due soluzioni e le metto a sistema e prendo i tratti continui. Mi viene:
\(\displaystyle -2 < k \le \frac{1}{2} \)
Ma la soluzione del libro è:
\(\displaystyle \frac{1}{2} \le k < 2 \)
Non risco a capire cosa ho sbagliato...
Ho pensato di risolvere questo sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 2 - |k| \ge 0 \\ \frac{1 - 2k}{k^2 - 4} \ge 0 \end{cases} \)
La prima è una disequazione con valore assoluto, quindi devo risolvere questo sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 2 + k \ge 0 \\ 2 - k \ge 0 \end{cases} \)
E mi viene:
\(\displaystyle - 2 \le k \le 2 \)
L'altra è una disequazione fratta quindi pongo numeratore \(\displaystyle \ge 0 \) e denominatore \(\displaystyle > 0 \) e poi prendo i segni positivi:
N: \(\displaystyle k \le \frac{1}{2} \); D: \(\displaystyle k^2 > 4 \)
\(\displaystyle k^2 > 4 \) è risolta per tutti i valori reali tranne \(\displaystyle -2 \) e \(\displaystyle 2 \). Riporto sulla retta con l'altra soluzione e prendo i segni positivi. Mi viene:
\(\displaystyle k \le \frac{1}{2} \wedge k \not= - 2 \)
Ora prendo le due soluzioni e le metto a sistema e prendo i tratti continui. Mi viene:
\(\displaystyle -2 < k \le \frac{1}{2} \)
Ma la soluzione del libro è:
\(\displaystyle \frac{1}{2} \le k < 2 \)
Non risco a capire cosa ho sbagliato...
Risposte
La prima disequazione $2-|k|>=0$ è verificata per $-2<=k<=2$
La seconda disequazione è fratta, pertanto devi studiare quando questa è positiva o nulla. Quindi il numeratore $1-2k>=0$ è verificato per $k<=1/2$. Il denominatore devi porlo semplicemente $k^2-4>0$ quindi $k<-2$ oppure $k>2$. Di queste ultime due soluzioni devi fare la tabella con il prodotto dei segni ottenendo $k<-2$ oppure $1/2<=k<2$. Alla fine fai l'intersezione con la soluzione della prima disequazione del sistema e ottieni la soluzione del libro.
La seconda disequazione è fratta, pertanto devi studiare quando questa è positiva o nulla. Quindi il numeratore $1-2k>=0$ è verificato per $k<=1/2$. Il denominatore devi porlo semplicemente $k^2-4>0$ quindi $k<-2$ oppure $k>2$. Di queste ultime due soluzioni devi fare la tabella con il prodotto dei segni ottenendo $k<-2$ oppure $1/2<=k<2$. Alla fine fai l'intersezione con la soluzione della prima disequazione del sistema e ottieni la soluzione del libro.
$k^2>4$ da come soluzione $k<-2 vv k>2$, non tutti i reale tranne $-2$ e $2$. Se prendi per esempio $x=1$ ti da $1^2>4$ che chiaramente non soddisfa la disuguaglianza.
$(1 - 2·k)/(k^2 - 4) >= 0$
se
$k < -2 vv 1/2 ≤ k < 2$
se
$k < -2 vv 1/2 ≤ k < 2$
"burm87":
$k^2>4$ da come soluzione $k<-2 vv k>2$, non tutti i reale tranne $-2$ e $2$. Se prendi per esempio $x=1$ ti da $1^2>4$ che chiaramente non soddisfa la disuguaglianza.
Ommioddio che stupida, come ho fatto a fare un errore così...
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Grazie brum87, tutto chiaro.
Grazie a tutti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo