Fz zeta di riemann

[fu^2]

stavo leggendo un libro di teoria dei numeri e per la distribuzione dei primi è imnplicata questa famosa funzione, però da come è presentata non ho capito come si fa a calcolare gli zeri della funzioni (per i quali la parte reale è 1/2) e anche la descrizione che da su wiky di questo è abbastanza confusa...
qualcuno potrebbe spiegarmelo con un filo di chiarezza?... anche attraverso un bel link

grazie a tutti.. è importante..

[TomSawyer1]

Se $\zeta(z)=\sum_{k=1}^(+\infty)1/k^z$, ti sarai anche chiesto perché gli zeri banali sono i numeri negativi pari. Non so la tua preparazione, comunque devi cercare l'equazione funzionale (functional equation) della funzione zeta, così capisci come si trovano.

[fu^2]

"TomSawyer":Se $\zeta(z)=\sum_{k=1}^(+\infty)1/k^z$, ti sarai anche chiesto perché gli zeri banali sono i numeri negativi pari. Non so la tua preparazione, comunque devi cercare l'equazione funzionale (functional equation) della funzione zeta, così capisci come si trovano.

e ma ho qualche problema a capire l'andamento quando z è un numero complesso... com'è che diventa la funzione?...cioè il suo andamento come diveta?me lo potresti far vedere per un numero qualunque complesso? te ne sarei grato..

[Kroldar]

"fu^2":
e ma ho qualche problema a capire l'andamento quando z è un numero complesso... com'è che diventa la funzione?

Non è affatto semplice capire l'andamento della funzione zeta nel piano complesso. Il motivo è che non è possibile darne una rappresentazione grafica tradizionale, in quanto si dovrebbe poter disporre di uno spazio quadridimensionale (due dimensioni per il dominio e due per il codominio). La funzione zeta di Riemann è definita comunque in tutto il piano complesso, con l'unica eccezione del numero reale $1$, in corrispondenza del quale non è definita; intorno a $1$ non è neanche possibile stabilire un andamento unico per la funzione, poiché essa assume valori arbitrariamente grandi in modulo ma di segno e parte reale diversi (per capirci, è come se intorno a $1$ la funzione zeta volesse contemporaneamente andare a $+oo$, $-oo$, $+joo$, $-joo$).
Per quanto riguarda il calcolo dei valori della funzione zeta, per i numeri complessi con modulo maggiore di 1, vale la formula che tutti conosciamo. Quella formula si estende ai numeri reali compresi tra 0 e 1 tramite un'altra funzione, la cosiddetta funzione eta. Poi per ottenere i valori in corrispondenza di numeri reali negativi, si utilizza una formula di estensione all'indietro (che prevede la conoscenza dell'estensione della funzione fattoriale !!) ma dalla quale si capisce immediatamente come mai i numeri pari negativi siano zeri per zeta... se ti interessa questa formula te la scrivo.
Ho divagato un po' sperando di darti qualche informazione utile aggiuntiva... purtroppo un andamento della funzione zeta, come ti ho detto all'inizio, non è rappresentabile se non in quattro dimensioni.
Un ultimo appunto... Il calcolo degli zeri non banali non è affatto semplice. Riemann aveva trovato una formula efficace (sebbene molto laboriosa, ma non chiedermi quale sia ) che rimase nascosta per oltre 50 anni, fino a quando non furono rivisti da Siegel i suoi appunti, che già erano stati guardati in passato ma nessuno ci aveva capito nulla. Oggi si utilizzano i calcolatori per ottenere i valori esatti degli zeri non banali, in quanto il calcolo si è spinto a valori molto elevati che non potrebbero essere trattati a mano.

[Camillo]

Nella prima pagina sono presentati dei bellissimi diagrammi della funzione Zeta di Riemann :



http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

[fu^2]

"Kroldar": se ti interessa questa formula te la scrivo.

si si si

[fu^2]

"Camillo":Nella prima pagina sono presentati dei bellissimi diagrammi della funzione Zeta di Riemann :



http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

bellissimo! grazie camillo!!!

[Kroldar]

Nei diagrammi della funzione zeta si usano i colori per dare l'effetto della quarta dimensione

La formula per l'estensione all'indietro di zeta ai numeri negativi è questa:

$zeta(1-s) = 2^(1-s) pi^(-s) sin((1-s)/2 pi) (s-1)! zeta(s)$

Ad esempio per $s=3$ risulta

$zeta(1-3) = zeta(-2) = 2^(-2) pi^(-3) sin(-pi) (2)! zeta(3)

ma, senza tener conto degli altri fattori, notiamo che $sin(-pi)=0$ sicché $zeta(-2)=0$. Con un ragionamento analogo si mostra che la funzione zeta si annulla in corrispondenza dei numeri interi pari negativi.

Attenzione, questa formula non vale per l'estensione in avanti, ma solo per il calcolo di zeta in corrispondenza di numeri negativi!