F(x) = g(x) $AA in [-1,1] $
Dobbiamo dimostrare che :
$f(x) = arccos (x) $ è uguale a $ g(x) = pi/2 - arctg (x/(sqrt(1-x^2)))$ $AA in [-1,1] $
si vede facendo delle sostituzioni che cio' è vero ma non riesco a trovare una regola generale di comportamento. La funzione $arccos(x)$ la conosciamo e sappiamo anche il suo grafico. Sappiamo anche che la $arctg(x)$ ha due asintoti orizzontali a $-pi/2 $ e $pi/2$ e che $-arctg(x)$ è la funzione rovesciata , mentre $pi/2 - arctg(x) $ è quella descritta precedentemente traslata verso l'alto di $pi/2$. Altro non riesco a dire.
Grazie.
$f(x) = arccos (x) $ è uguale a $ g(x) = pi/2 - arctg (x/(sqrt(1-x^2)))$ $AA in [-1,1] $
si vede facendo delle sostituzioni che cio' è vero ma non riesco a trovare una regola generale di comportamento. La funzione $arccos(x)$ la conosciamo e sappiamo anche il suo grafico. Sappiamo anche che la $arctg(x)$ ha due asintoti orizzontali a $-pi/2 $ e $pi/2$ e che $-arctg(x)$ è la funzione rovesciata , mentre $pi/2 - arctg(x) $ è quella descritta precedentemente traslata verso l'alto di $pi/2$. Altro non riesco a dire.
Grazie.
Risposte
Farei questo ragionamento:
posto $arccos x= alpha$ con $0<=alpha<=pi$, si ottiene $tg alpha = sqrt(1-x^2)/x$ con $x!= +-1$, quindi $tg (f(x))=sqrt(1-x^2)/x$, adesso basta calcolare $tg(g(x)$. Però il discorso vale per $x in (-1, 1) $ e non vale negli estremi dell'intervallo
posto $arccos x= alpha$ con $0<=alpha<=pi$, si ottiene $tg alpha = sqrt(1-x^2)/x$ con $x!= +-1$, quindi $tg (f(x))=sqrt(1-x^2)/x$, adesso basta calcolare $tg(g(x)$. Però il discorso vale per $x in (-1, 1) $ e non vale negli estremi dell'intervallo
melia : non capisco bene il passaggio a $tg(f(x)) = (sqrt(1-x^2))/x $
"ANTONELLI ":
melia : non capisco bene il passaggio a $tg(f(x)) = (sqrt(1-x^2))/x $
Avendo posto $arc cos x = alpha$ significa che $f(x)=alpha$, per cui $tg(f(x)) = tg alpha =(sqrt(1-x^2))/x $, d'altra parte
$tg (g(x)) = tg(pi/2 - arc tg (x/sqrt(1-x^2))) = cotg (arc tg (x/sqrt(1-x^2)) = $
$=1/(tg (arctg(x/sqrt(1-x^2)))) =1/ (x/sqrt(1-x^2)) = sqrt(1-x^2)/x$
Bisogna porre anche $x !=0$, me ne ero dimenticata.
"@melia":O meglio, prima di fare i conti scritti da @melia è necessario porre $x!=0$, se no non possiamo farli.
Bisogna porre anche $x !=0$, me ne ero dimenticata.
Però l'uguaglianza iniziale è vera anche per $x=0$:
$f(0)=arccos(0)= pi/2$, $g(0)= pi/2 -arctan((0)/(sqrt(1-0^2)))= pi/2-arctan(0)=pi/2$, quindi $f(0)=g(0)$
Ciao ANTONELLI, non ho seguito tutta la vostra discussione precedente, anche perchè essendo un fisico e non un matematico probabilmente avrei fatto fatica a capire, anche se ho letto che non è facile dimostrare l'uguaglianza nell'intervallo chiuso, cosa che ovviamente non è riuscita nemmeno a me! Ti dico come da fisico un po' grezzo in matematica avrei risolto il problema:
è abbastanza facile calcolare le derivate delle due funzioni e verificare che sono uguali ovvero,
$f'(x)=g'(x)=$$\frac{-1}{sqrt(1-x^2)}$ in tutti i punti dell'intervallo (aperto) considerato, dunque $f'(x)-g'(x)=0$ o anche per linearità della derivata $(f(x)-g(x))'=0$ nell'intervallo, dunque $f(x)-g(x)=C$ nell'intervallo (teo di Lagrange). Se la funzione $f(x)-g(x)$ è costante nell'intervallo, basta sostituire un valore qualsiasi di $x$ preso nell'intervallo $(1,-1)$ per trovate $C$. Scegli ad es. il valore $x=0$ e ottieni $C=\frac{\pi}{2}$ dimostrando l'uguaglianza. Spero che possa essere uno spunto per estendere l'uguaglianza a tutto l'intervallo!
è abbastanza facile calcolare le derivate delle due funzioni e verificare che sono uguali ovvero,
$f'(x)=g'(x)=$$\frac{-1}{sqrt(1-x^2)}$ in tutti i punti dell'intervallo (aperto) considerato, dunque $f'(x)-g'(x)=0$ o anche per linearità della derivata $(f(x)-g(x))'=0$ nell'intervallo, dunque $f(x)-g(x)=C$ nell'intervallo (teo di Lagrange). Se la funzione $f(x)-g(x)$ è costante nell'intervallo, basta sostituire un valore qualsiasi di $x$ preso nell'intervallo $(1,-1)$ per trovate $C$. Scegli ad es. il valore $x=0$ e ottieni $C=\frac{\pi}{2}$ dimostrando l'uguaglianza. Spero che possa essere uno spunto per estendere l'uguaglianza a tutto l'intervallo!
grazie a tutti Papageno e @melia. Grazie ancora.
"papageno":Intendevi certamente $C=0$
...Scegli ad es. il valore $x=0$ e ottieni $C=\frac{\pi}{2}$ dimostrando l'uguaglianza...
Ha proprio ragione Gi8, non ho scritto che con $g(x)$ intendevo la funzione $g(x)=-arctg(\frac{x}{sqrt(1-x^2}))$, in questo caso $C=\frac{\pi}{2}$, altrimenti sarebbe $C=0$ come giustamente dice Gi8. Grazie a Gi8 per la precisazione! Cmq in entrambi i casi la dimostrazione dovrebbe essere corretta!
Hai ragione, è proprio una bella dimostrazione.
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