FUNZIONI........PICCOLO DUBBIO

[Ka90]

perchè una funzione continua in un punto non è detto ke sia derivabile in quel punto,ma se è derivabile è sicuro continua in quel punto?Risp dettagliate please

[ciampax]

E' una cosa abbastanza semplice. Ti dimostro prima che la derivabilità implica la continuità. Allora, supponiamo che esista finito

[math]f'(x_0)[/math]

: questo vuol dire che

[math]\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)[/math]

e questa cosa la puoi tradurre nella forma seguente

[math](1)\qquad f(x)-f(x_0)=(x-x_0)\cdot f'(x_0)+\omega(x)[/math]

dove

[math]\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}\omega(x)=0[/math]

. A questo punto se fai il limite della (1) per

[math]x\rightarrow x_0^{\pm}[/math]

ottieni

[math]\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}[f(x)-f(x_0)]=0[/math]

(tutto quello che c'è a destra dell'uguale tende a zero) e quindi ottieni che

[math]\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}} f(x)=f(x_0)[/math]

che è la definizione di continuità.


Per dimostrare che il viceversa non vale, ti basta esibire un controesempio: considera la funzione

[math]g(x)=|x|[/math]

(il valore assoluto di x). Ovviamente tale funzione è continua in

[math]x=0[/math]

poiché

[math]\lim_{x\rightarrow 0}|x|=0[/math]

ma non è derivabile poiché

[math]\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{x}=1[/math]

mentre

[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{-x}{x}=-1[/math]

e quindi le derivate destra e sinistra in

[math]x=0[/math]

sono differenti e la funzione

[math]g(x)[/math]

non risulta derivabile. Se hai bisogno di ulteriori spiegazioni chiedi.