Funzioni suriettive, iniettive e biiettive
Queste definizioni sono formalmente corrette al 200%?
y_i è sempre immagine di x_i mentre x_i è sempre controimmagine di y_i, l’asse x rappresenta sempre il dominio di f mentre y il suo codominio, se scrivo f:A →B, A è il dominio mentre B il codominio.
Una funzione suriettiva da A a B è una funziona in cui ogni elemento del codominio di B è immagine di almeno un elemento di A (dominio). A e B possono essere gli insiemi dei numeri reali oppure anche un loro sottoinsieme. Per questo motivo, per esempio, y=x^2, quando y≥0 (ovvero y∈R^+) può essere definita suriettiva. Una funzione f è iniettiva se per ogni elemento del codominio esiste uno ed un solo elemento del dominio di f. Una funzione biiettiva (o biunivoca) è una funzione che è sia suriettiva che iniettiva.
y_i è sempre immagine di x_i mentre x_i è sempre controimmagine di y_i, l’asse x rappresenta sempre il dominio di f mentre y il suo codominio, se scrivo f:A →B, A è il dominio mentre B il codominio.
Una funzione suriettiva da A a B è una funziona in cui ogni elemento del codominio di B è immagine di almeno un elemento di A (dominio). A e B possono essere gli insiemi dei numeri reali oppure anche un loro sottoinsieme. Per questo motivo, per esempio, y=x^2, quando y≥0 (ovvero y∈R^+) può essere definita suriettiva. Una funzione f è iniettiva se per ogni elemento del codominio esiste uno ed un solo elemento del dominio di f. Una funzione biiettiva (o biunivoca) è una funzione che è sia suriettiva che iniettiva.
Risposte
No.
Innanzitutto, cosa grave, confondi l’iniettività con la biiettività.
Poi, non si capisce cosa tu voglia dire colla frase iniziale su $y_i$ ed $x_i$.
Infine, si possono considerare funzioni definite su insiemi qualsiasi, non necessariamente di numeri.
Innanzitutto, cosa grave, confondi l’iniettività con la biiettività.
Poi, non si capisce cosa tu voglia dire colla frase iniziale su $y_i$ ed $x_i$.
Infine, si possono considerare funzioni definite su insiemi qualsiasi, non necessariamente di numeri.
Una funzione è una particolare corrispondenza tra due insiemi $A$ e $B$, in cui ogni elemento $x \in A$ è associato ad un unico elemento $y \in B$. Si indica con $f: A \rightarrow B$, in cui A è detto dominio e B è detto codominio.
Alternativamente, la puoi rappresentare tramite i loro elementi con la scrittura $y = f(x)$. Gli elementi $y$ sono chiamati immagini di $x$; gli elementi $x$ sono detti controimmagini di $y$. L'insieme di tutte le immagini di x è chiamato immagine della funzione. Tieni conto, però, che l'immagine della funzione (cioè tutte le $y$) a volte non coincide con l'intero codominio, cioè la funzione NON è suriettiva. In caso l'immagine della funzione coincidesse con il codominio, allora sarebbe suriettiva.
La definizione corretta di funzione iniettiva è la seguente:
Una funzione è iniettiva se ogni immagine ammette un'unica controimmagine. L'equazione di una parabola $y = ax^2+bx+c$ non rappresenta una funzione iniettiva, infatti per ogni y ammesso possono esistere due valori di x corrispondenti.
Alternativamente, la puoi rappresentare tramite i loro elementi con la scrittura $y = f(x)$. Gli elementi $y$ sono chiamati immagini di $x$; gli elementi $x$ sono detti controimmagini di $y$. L'insieme di tutte le immagini di x è chiamato immagine della funzione. Tieni conto, però, che l'immagine della funzione (cioè tutte le $y$) a volte non coincide con l'intero codominio, cioè la funzione NON è suriettiva. In caso l'immagine della funzione coincidesse con il codominio, allora sarebbe suriettiva.
La definizione corretta di funzione iniettiva è la seguente:
Una funzione è iniettiva se ogni immagine ammette un'unica controimmagine. L'equazione di una parabola $y = ax^2+bx+c$ non rappresenta una funzione iniettiva, infatti per ogni y ammesso possono esistere due valori di x corrispondenti.
"Lucia01":
L'insieme di tutte le immagini di x è chiamato immagine della funzione. Tieni conto, però, che l'immagine della funzione (cioè tutte le $y$) a volte non coincide con l'intero codominio, cioè la funzione NON è suriettiva. In caso l'immagine della funzione coincidesse con il codominio, allora sarebbe suriettiva.
La definizione corretta di funzione iniettiva è la seguente:
Una funzione è iniettiva se ogni immagine ammette un'unica controimmagine. L'equazione di una parabola $y = ax^2+bx+c$ non rappresenta una funzione iniettiva, infatti per ogni y ammesso possono esistere due valori di x corrispondenti.
Se scrivi che l'insieme di tutte le immagini di x è chiamato immagine della funzione sottintendi che le immagini della funzioni sia un insieme prodotto da x e quindi coincidente con il codominio.
Sul resto sono d'accordo.
"balestra_romani":
Se scrivi che l'insieme di tutte le immagini di x è chiamato immagine della funzione sottintendi che le immagini della funzioni sia un insieme prodotto da x e quindi coincidente con il codominio.
Eh, no, questo è quello che molti insegnano adesso ma io sono "tradizionalista" è rimango dell'idea che l'immagine della funzione (alias insieme che contiene tutte le immagine) è un sottoinsieme del codominio
Cordialmente, Alex
Non sono d'accordo. Se un numero non appartiene al codominio non può essere definita immagine di f.
Il resto che hai scritto invece mi piace molto, ben scritto e molto più chiaro.
Il resto che hai scritto invece mi piace molto, ben scritto e molto più chiaro.
"balestra_romani":
Se un numero non appartiene al codominio non può essere definita immagine di f.
Non mi è chiaro cosa intendi dire … non ho capito …
"gugo82":
No.
Innanzitutto, cosa grave, confondi l’iniettività con la biiettività.
Poi, non si capisce cosa tu voglia dire colla frase iniziale su $y_i$ ed $x_i$.
Infine, si possono considerare funzioni definite su insiemi qualsiasi, non necessariamente di numeri.
si è scritto male ma non è sbagliato il concetto di iniettività
si, vero, scritto così sembra che esistano solo insiemi numerici
Sull’iniettività è sul perché la definizione data non sia il massimo (anche se è riportata su alcuni testi) ti ha già risposto Lucia01 un mese fa.
Per quanto riguarda l’osservazione di axpgn, è corretta nonostante sui testi delle secondarie l’approccio non sia questo.
È importante non confondere l’insieme d’arrivo di una funzione con l’insieme delle sue immagini; insomma, se $f:A -> B$, è importante distinguere tra $B$ (insieme di arrivo di $f$) e l’insieme $C subseteq B$ che contiene tutte le immagini di $f$ e usualmente si denota con il simbolo $f(A)$ (insieme delle immagini).
Infatti, se non si opera tale distinzione, ossia se si identifica sempre l’insieme di arrivo con l’insieme delle immagini, ogni funzione diventa automaticamente suriettiva e, perciò, la definizione di funzione suriettiva perde di significato e tutte le funzioni iniettive diventano automaticamente biiettive.
Stabilito ciò, la nomenclatura è variabile. Alcuni testi preferiscono chiamare $B$ “insieme d’arrivo” e $C=f(A)$ “codominio”; mentre altri, pensando di stabilire una analogia lessicale con il nome dell’insieme $A$ (“dominio”) e tenendo presente che $C$ contiene immagini, chiamano $B$ “codominio” e $C$ “immagine di $f$”.
Per quanto riguarda l’osservazione di axpgn, è corretta nonostante sui testi delle secondarie l’approccio non sia questo.
È importante non confondere l’insieme d’arrivo di una funzione con l’insieme delle sue immagini; insomma, se $f:A -> B$, è importante distinguere tra $B$ (insieme di arrivo di $f$) e l’insieme $C subseteq B$ che contiene tutte le immagini di $f$ e usualmente si denota con il simbolo $f(A)$ (insieme delle immagini).
Infatti, se non si opera tale distinzione, ossia se si identifica sempre l’insieme di arrivo con l’insieme delle immagini, ogni funzione diventa automaticamente suriettiva e, perciò, la definizione di funzione suriettiva perde di significato e tutte le funzioni iniettive diventano automaticamente biiettive.
Stabilito ciò, la nomenclatura è variabile. Alcuni testi preferiscono chiamare $B$ “insieme d’arrivo” e $C=f(A)$ “codominio”; mentre altri, pensando di stabilire una analogia lessicale con il nome dell’insieme $A$ (“dominio”) e tenendo presente che $C$ contiene immagini, chiamano $B$ “codominio” e $C$ “immagine di $f$”.
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