Funzioni periodiche

[NoRe1]

Un po' di domande su equazioni e disequazioni goniometriche

1

Data la funzione sen(x)

la funzione [sen(x)]^2 ha periodo?

e in generale se ho f(x), [f(x)]^2 ha periodo?


2

senx
come posso risolverla?

Siate esaustivi perchè in classe non posso chiedere... la prof ci da esercizi da decelebrati...

Merci

P.S. perchè il forum mi va lento?

[@melia]

"NoRe":
Data la funzione sen(x), la funzione [sen(x)]^2 ha periodo?

Come sai le funzioni seno e coseno hanno periodo $2 pi$, ma $[sin(x)]^2 =(1- cos 2x)/2$ e $cos 2x$ ha periodo $pi$, quindi la funzione ha periodo $pi$, infatti $cos 2x = cos (2x+2pi) = cos 2(x+pi)$

"NoRe":e in generale se ho f(x), [f(x)]^2 ha periodo?

Il periodo di $[f(x)]^2$ di solito è lo stesso di $f(x)$, pensa a $tan x$ e $(tan x)^2$ che hanno entrambe periodo $pi$, ma potrebbe essere un suo sottomultiplo, dipende dalla funzione.

"NoRe":senx
Si tratta di una disequazione lineare, per risolverla devi portarla nella forma $sinx-cosx<-1$ e poi usare uno dei tre metodi che troverai sicuramente sul libro di testo. Hai detto che vuoi portarti avanti con il programma, giusto? Quindi devi cominciare ad usare da solo il libro. Poi se ci sono cose che non capisci, siamo qui.

[NoRe1]

Quella del periodo l'ho vista...
Effettivamente conviene portarsela così...

Sull'altra... se devo applicare le formule di prostaferesi o quelle altre di werner, allora è normale che non le sappia fare... Non le ho viste ancora...

Credo che il problema sia proprio lì...

[@melia]

Cerca la equazioni e le disequazioni lineari, ci sono modi di soluzione che non richiedono formule particolari, solo di applicare un procedimento ereditato dall'algebra.

[NoRe1]

"@melia":Cerca la equazioni e le disequazioni lineari, ci sono modi di soluzione che non richiedono formule particolari, solo di applicare un procedimento ereditato dall'algebra.

provato...
Ma modi di risolvere senza ricorrere a disequazioni irrazionali non ne ho trovat....

E in quel caso non sono sicuro di quello che faccio perchè per la radice ho qualche dubbio sul segno...


Un altro esercizio...
Ho trovato due modi di risoluzione, ma mi portano risultati diversi...

L'equazione è questa...

cos(x)=[sen(x)]^2-[cos(x)]^2

metodo 1 ( in questo modo non raggiungo il risultato del libro e non riesco a capire perchè )
Sapendo che cos(2x)=[cos(x)]^2-[sin(x)]^2

L'equazione sopra posso scriverla anche come

cos(x)=-cos(2x)

da cui

x=2x+$pi$+2k $pi$
o
x= $pi$ -2x + 2k $pi$

Ancora x= $pi$ +2k $pi$ ( soluzione 'esatta' )
e
x= $pi$/3 +2/3*k* $pi$... ma sul libro mi scrive x= $pi$/3+2k $pi$...

ora vorrei capire dov'è l'errore...

Metodo 2

risolvo equazione con la semplice algebra e alla fine trovo

cos(x)=-1 =====> x= $ pi$ +2k $ pi$
cos (x)=+1/2 ======> x= $pi$/3 + 2 k $pi$

e ci troviamo...

edit: altro problema

abbiamo $f(x)=1/2 sen(x) +sqrt(3)/2 cos(x) $
la riconduco alla forma $f(x)= sen(x+60°) $


e fin qui tutto bene... Quando mi chiede di costruire il grafico della funzione $f(|x|)$ mi pongo un problema: il valore assoluto si riferisce alla sola $x$ o a tutto l'argomento $x+60°$ ?

[NoRe1]

notizie? please

[giammaria2]

Per la prima domanda: il metodo 1 va bene. Se riporti sul cerchio goniometrico le tue soluzioni trovi, a meno di $2k pi$, i punti $+-pi/3$ e $pi$.
Nel metodo 2 c'è un errore: da $cos x=1/2$ si deduce $x=+-pi/3+2k pi$. Se il tuo libro non mette il $+-$ c'è un errore di stampa.

[NoRe1]

"giammaria":Per la prima domanda: il metodo 1 va bene. Se riporti sul cerchio goniometrico le tue soluzioni trovi, a meno di $2k pi$, i punti $+-pi/3$ e $pi$.
Nel metodo 2 c'è un errore: da $cos x=1/2$ si deduce $x=+-pi/3+2k pi$. Se il tuo libro non mette il $+-$ c'è un errore di stampa.

si, l'errore c'è è vero...

piuttosto con il metodo 1 il periodo è 2/3 $pi$... c'è qualche errore?

[giammaria2]

No: le tre soluzioni sono i vertici di un triangolo equilatero, quindi l'angolo al centro fra esse è $(2pi)/3$

[NoRe1]

"giammaria":No: le tre soluzioni sono i vertici di un triangolo equilatero, quindi l'angolo al centro fra esse è $(2pi)/3$

quindi il periodo è 2/3 $pi$ O $2 pi$ ?

[giammaria2]

Di solito le soluzioni sono certi punti del cerchio goniometrico e quindi si ripetono ogni giro: il periodo è $2pi$. A volte però si ripetono ogni parte di giro ed allora possono essere sintetizzate come periodo un sottomultiplo di $2 pi$: questo è il tuo caso.
Ti faccio un altro esempio: supponiamo che la soluzione sia data dalle quattro intersezioni con gli assi. Puoi scriverla indifferentemente in uno dei seguenti modi:
1) $x=0+2kpi vv x=pi+2k pi vv x=+-pi/2+2k pi$
2) $x=0+k pi vv x=pi/2+k pi$
3) $x=0+k pi/2$
perché tutti indicano quei punti e la loro ripetizione nei giri successivi.

[NoRe1]

"giammaria":Di solito le soluzioni sono certi punti del cerchio goniometrico e quindi si ripetono ogni giro: il periodo è $2pi$. A volte però si ripetono ogni parte di giro ed allora possono essere sintetizzate come periodo un sottomultiplo di $2 pi$: questo è il tuo caso.
Ti faccio un altro esempio: supponiamo che la soluzione sia data dalle quattro intersezioni con gli assi. Puoi scriverla indifferentemente in uno dei seguenti modi:
1) $x=0+2kpi vv x=pi+2k pi vv x=+-pi/2+2k pi$
2) $x=0+k pi vv x=pi/2+k pi$
3) $x=0+k pi/2$
perché tutti indicano quei punti e la loro ripetizione nei giri successivi.

però se hai

$x= pi/3+ 2/3 k pi $
e
$x= pi/3 +2k pi $

le soluzioni sono diverse o sbaglio?

[giammaria2]

Certo, le due soluzioni che scrivi sono diverse. Sono invece uguali quelle che tu avevi nell'ultima equazione, e cioè
1) $x=pi+2kpi vv x=+-pi/3+2kpi$
2) $x=pi/3+k*(2pi)/3$
Disegnale sul cerchio goniometrico e te ne convincerai.

[NoRe1]

"giammaria":Certo, le due soluzioni che scrivi sono diverse. Sono invece uguali quelle che tu avevi nell'ultima equazione, e cioè
1) $x=pi+2kpi vv x=+-pi/3+2kpi$
2) $x=pi/3+k*(2pi)/3$
Disegnale sul cerchio goniometrico e te ne convincerai.

c'est vrai! avevo dimenticato quell'altro gruppo di soluzioni ... sono un po' incasinato... filosofia arretrata

Beh ottimo allora è chiaro ora...

piuttosto c'è l'altro esercizio con il valore assoluto in questo stesso post ...

[giammaria2]

Ho dato un'occhiata indietro, ma direi che tutte le tue domande hanno avuto risposta da @melia, a volte del tutto esauriente ed altre volte studiata per farti meditare: controlla.

[NoRe1]

altro problema

abbiamo $f(x)=1/2 sen(x) +sqrt(3)/2 cos(x) $
la riconduco alla forma $f(x)= sen(x+60°) $


e fin qui tutto bene... Quando mi chiede di costruire il grafico della funzione $f(|x|)$ mi pongo un problema: il valore assoluto si riferisce alla sola $x$ o a tutto l'argomento $x+60°$ ?

su questo problema nessuna risposta :3

[giammaria2]

Il valore assoluto è solo su $x$, quindi $f(|x|)=sin(|x|+60°)$, cioè
$f(|x|)={(sin(x+60°) if x>=0),(sin(-x+60°) if x<0):}$

[NoRe1]

Altro esercizio

ho questa equazione:

$cosx<3/2 tanx $

posto cosx diverso da 0

$(cosx)^2-3/2senx<0$ da cui $1-(senx)^2-3/2senx<0 $

$(senx)^2+3/2 senx -1 >0 $

$ [senx-1/2] (senx+2)>0 $

Sapendo che senx+2 è sempre maggiore di 0 la disequazione si riduce a $senx>1/2$ quindi

$pi/6+2kpi
i risultati non quadrano... riscontrate errori?

[giammaria2]

All'inizio hai dato denominatore comune e non potevi trascurare il denominatore, di cui non sai il segno. Quindi la disequazione finale è

$((sinx-1/2)(sin x+2))/(cos x)>0$

e devi ora studiare il segno della frazione.

[NoRe1]

omg what a noob!

Grazie, quadra tutto!