Funzioni periodiche

[SaturnV]

Ciao a tutti, mi sono appena iscritto e avrei una domanda.
Sto cercando di dimostrare questo teorema:
"Date due funzioni f(x) e f'(x) periodiche, il periodo della
f''(x)=f(x) + f'(x) è il minimo comune multiplo dei periodi delle funzioni f(x) e f'(x), se il rapporto fra tali periodi è un numero razionale."
... qualche suggerimento?

Grazie!

[giuseppe87x]

Non ho capito una cosa:
con f(x)+f'(x) indichi la somma delle due funzioni o la funzione composta e pertanto f(x) e f'(x) sono le funzioni componenti di f''(x)?

[SaturnV]

La somma delle due funzioni.
Per esempio,
f''(x)= sin(2x) + sin (3x)

Ciao!

[david_e1]

Basta usare la definizione di funzione T-periodica:

f(x+T)=f(x)

[SaturnV]

Aehm... aiutino di riserva?
Conosco la definizione di funzione periodica, ma non so come procedere per la dimostrazione.
Intuitivamente mi rendo conto che il periodo della funzione somma di due funzioni periodiche debba essere il minimo comune multiplo dei periodi perchè, per così dire, le due funzioni si incontrano sempre nello stesso punto, è un pò come il fenomeno della risonanza orbitale in astronomia, credo.
Ma con la definizione non riesco ad andare oltre:
f''(x+P'')= f'(x+P')+f(x+P)

Scusa, grazie ciao!

[SaturnV]

Nessuna idea? Nessun suggerimento?
E mi lasciate così solo perchè sono piccolo e nero...?! :-p

[Fury1]

CIAO!
guarda che il nuovo periodo coincide con quello più lungo fra le
due sinusoidi da sommare! avendo.... f(x)=sin(ax) allora T = 2pi/a
guardi il numero maggiore, e hai trovato il tuo periodo! [;)]

FURY

[david_e1]

Suggerimento di riserva:

Prima prendi due funzioni una con periodo A e una con periodo B e mostra che la somma e' periodica di periodo C o di un sottomultiplo intero di C se C e' il mcm: (mostra)

c(x)=a(x)+b(x) ==> c(x+C)=c(x)

A questo punto il periodo puo' essere C, ma anche un sottomultiplo! Dobbiamo mostrare che C e' il minimo numero per cui c(x+C)=c(x).

Poi prendi un numero D che non sia multiplo intero di C e mostra che la somma delle due funzioni non e' periodica di periodo D. Questo perche' D non e' multiplo intero o di A o di B (ovvero non coincide con un multiplo del periodo per ALMENO una delle due funzioni di partenza): (mostra che)

c(x+D) = a(x+D)+b(x+D) != a(x)+b(x)

A questo punto il periodo e' sicuramente C perche' se prendiamo un sottomultiplo di C ricadiamo nel caso D.

*** EDIT ***
Spero di aver reso un po' piu' chiaro quello che secondo me bisognerebbe fare.

[SaturnV]

Nice shot! Bell'idea, davvero!
Per dovere di cronaca vi segnalo quella portata dal mio prof.
Facciamo così:
Siano
f,g : R -> R \ f(x+t1)=f(x) e g(x+t2)=g(x)
con t1 diverso da t2.
dimostriamo innanzitutto che
h(x)= f(x) + g(x)
è periodica.

Se è periodica:
h(x+T)=h(x)
Ma h(x)= f(x) + g(x), quindi
h(x+T)= f(x+T)+ g(x+T)
Ma il periodo di f(x) è t1 e quello di g(x) è t2, quindi è identico scrivere

h(x+T)= f(x+T+n1*t1) + g(x+T+n2*t2)=f(x+T) + g(x+T)
perchè le funzioni assumono periodicamente lo stesso valore per n1*t1 e n2*t2, quando n1 e n2 sono numeri naturali.
Ponendo a sistema le funzioni (devono essere uguali, no?)
| x+T=x+T+n1*t1
| x+T=x+T+n2*t2
Da cui si ottiene subito

n1*t1=n2*t2, cioè
t1/t2=n2/n1
cioè la funzione è periodica se il rapporto n2/n1 è un numero razionale.
Ma deve essere anche
T=n1*t1=n2*t2
Quindi T è multiplo sia di n1 che di n2, ma visto che il periodo è il numero più piccolo dell'insieme dei numeri per cui f(x)=f(x+T), T è il m.c.m. dei periodi t1 e t2.

Cosa ne pensate?

Ciao!