Funzioni pari e dispari

[gjugjola]

sapreste spiegarmi come risolvere le funzioni e capire quando e pari e dispari?e che differenza c'e tra una funzione e relazione?grazie

[BIT5]

- Una funzione non si risolve, ma si studia.
Lo studio di funzioni e' lungo e articolato, e non so cosa avete fatto (si parte dal dominio fino a concludere con lo studio della derivata seconda)

- Una funzione puo' essere pari, dispari, o nessuna delle due.

Per capire se una funzione e' pari o dispari, devi sostituire a tutte le x della funzione, il valore (-x), eseguire i calcoli e vedere se alla fine ottieni:

a) una funzione identica a quella di partenza (funzione pari)

ESEMPIO

[math] f(x)= \log \frac{x^2-4}{2x^4-5x^2+1} [/math]

sostituisci a tutte le x il valore -x

[math] f(-x)= \log \frac{(-x)^2-4}{2(-x)^4-5(-x)^2+1} [/math]

siccome

[math](-x)^n [/math]

quando n e' pari e' uguale a

[math] x^n [/math]

(ad esempio -2 alla seconda e' uguale a 2 alla seconda)

allora tutte le -x ad esponente pari le puoi riscrivere come x e torni da capo

ESEMPIO

[math] f(x)= \cos x [/math]

Sostituisci

[math] f(-x)= \cos(-x) [/math]

Ma siccome sai che cos -x = cos x allora

[math] f(-x)=f(x) [/math]

E quindi la funzione e' pari

b) se sostituendo ottieni la stessa funzione cambiata di segno, la funzione e' dispari

ESEMPIO

[math] f(x)= \frac{x^2+1}{x^3} [/math]

[math] f(-x)= \frac{(-x)^2+1}{(-x)^3}= \frac{x^2+1}{-x^3} = - \frac{x^2+1}{x^3}=-f(x)[/math]

Se non accade nessuno dei casi precedenti, la funzione non e' ne' pari ne' dispari.

ESEMPIO

[math] f(x)= \frac{x^2+1}{x^3-1} \\ \\ f(-x)= \frac{(-x)^2+1}{(-x)^3-1}= \frac{x^2+1}{-x^3-1} [/math]

Che come vedi non e' riconducibile in alcun modo alla funzione originaria (anche se raccogli un segno, ottieni sempre qualcosa di diverso)

- Una relazione e', volgarmente, una proprieta' che appunto mette in relazione elementi di un insieme con elementi di un altro insieme...

Ad esempio prendi due insiemi numerici (numeri interi ovvero Z) A e B e imposta la relazione "l'elemento di B e' multiplo dell'elemento di A"

Allora se prendi dall'insieme A il numero 1, nell'insieme B potrai prendere 1 2 3 ecc ecc (sono tutti multipli di 1) se prendi 2, potrai prendere in B 2,4,6,8 ecc e cosi' via.

La funzione e' un particolare tipo di relazione.

Solo che una funzione associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B

Ad esempio negli insiemi di prima, la relazione "l'elemento di B e' il doppio dell'elemento di A" e' una funzione perche' per qualunque valore di A che scegli, hai solo un valore di B (1-->2 2-->4) e cosi via.