Funzioni goniometriche
il professore ha chiesto di dimostrare con le dovute formule che questa equazione è vera...ma io non riesco a farlo! mi potete dare una mano?
a=alfa b=beta
[sen(3a+b)sen(3a-b)-sen(a+b)sen(a-b)] /[sen(4a)sen(2a)] = 1
a=alfa b=beta
[sen(3a+b)sen(3a-b)-sen(a+b)sen(a-b)] /[sen(4a)sen(2a)] = 1
Risposte
Conosci le formule di Prostaferesi? Devi applicarle al numeratore.
Prima trasformi i due prodotti nella differenza di due coseni e poi questi nel prodotto di due seni.
Otterrai numeratore e denominatore uguali.
Se non ci riesci ti aiuto.
Prima trasformi i due prodotti nella differenza di due coseni e poi questi nel prodotto di due seni.
Otterrai numeratore e denominatore uguali.
Se non ci riesci ti aiuto.
si le conosco...e ho provato ad applicarle ma probabilmente mi sfugge qualche passaggio
ho molta difficoltà nel trasformare sen (3a+b)sen(3a-b)
invece sen(a+b)sen(a-b) dopo i vari passaggi ottengo : (senacosa+senbcosa)(senacosb-senbcosa)
faccio la regola dei prodotti notevoli e ho: (sen^2a cos^2b) - (sin^2b cos^2a) da qui eseguo ho:
(1-cos^2a)cos^2b - (1-cos^2b)cos^2a
svolgendo conti ottengo: cos^2b-cos^2a
non so se eseguo in modo corretto...ma oltre a cio mi blocco
ho molta difficoltà nel trasformare sen (3a+b)sen(3a-b)
invece sen(a+b)sen(a-b) dopo i vari passaggi ottengo : (senacosa+senbcosa)(senacosb-senbcosa)
faccio la regola dei prodotti notevoli e ho: (sen^2a cos^2b) - (sin^2b cos^2a) da qui eseguo ho:
(1-cos^2a)cos^2b - (1-cos^2b)cos^2a
svolgendo conti ottengo: cos^2b-cos^2a
non so se eseguo in modo corretto...ma oltre a cio mi blocco
Devi applicare queste (forse le hai viste nella dimostrazione delle formule di Prostaferesi):
$sen(alpha)sen(beta)=-1/2(cos(alpha+beta)-cos(alpha-beta))$
poi riduci i termini simili al numeratore e raccogli $-1/2$ a fattor comune, otterrai la differenza di due coseni dove applichi:
$cosalpha-cosbeta=-2sen((alpha+beta)/2)sen((alpha-beta)/2)$
P.S. Un consiglio, quando scrivi le formule metti il simbolo del dollaro all'inizio ed alla fine. Le formule saranno più leggibili.
$sen(alpha)sen(beta)=-1/2(cos(alpha+beta)-cos(alpha-beta))$
poi riduci i termini simili al numeratore e raccogli $-1/2$ a fattor comune, otterrai la differenza di due coseni dove applichi:
$cosalpha-cosbeta=-2sen((alpha+beta)/2)sen((alpha-beta)/2)$
P.S. Un consiglio, quando scrivi le formule metti il simbolo del dollaro all'inizio ed alla fine. Le formule saranno più leggibili.
scusa ma dopo aver applicato questa formula di prostaferesi al numeratore ho:
-1/2 (cos(3a+b)-cos(3a-b)) - 1/2(cos(a+b)-cos(a-b))
giusto?
-1/2 (cos(3a+b)-cos(3a-b)) - 1/2(cos(a+b)-cos(a-b))
giusto?
$sen(3alpha+beta)sen(3alpha-beta)=-1/2(cos(3alpha+beta+3alpha-beta)-cos(3alpha+beta-3alpha+beta))=-1/2(cos6alpha-cos2beta)$
Analogamente
$sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)=-1/2(cos2alpha-cos2beta)$
Analogamente
$sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)=-1/2(cos2alpha-cos2beta)$
ok....
quindi facendo tutti i conti alla fine al numeratore resterebbe -1/2 cos(4a)
invece per denominatore applico le formule di duplicazione?
quindi facendo tutti i conti alla fine al numeratore resterebbe -1/2 cos(4a)
invece per denominatore applico le formule di duplicazione?
no, hai numeratore e denominatore uguali.
al num. hai $ -1/2(cos6alpha-cos2alpha)$
Applica la differenza di due coseni (Prostaferesi) e semplifica.
ora devo andare
al num. hai $ -1/2(cos6alpha-cos2alpha)$
Applica la differenza di due coseni (Prostaferesi) e semplifica.
ora devo andare
ho capito...grazie.
ma si può risolvere solo con queste formule di Prostaferesi.....
perché noi non le abbiamo fatte.....
ma si può risolvere solo con queste formule di Prostaferesi.....
perché noi non le abbiamo fatte.....
Se ti riferisci a questa
$sen(alpha)sen(beta)=-1/2(cos(alpha+beta)-cos(alpha-beta))$
non è una formula di Prostaferesi. Nella dimostrazione delle formule di Prostaferesi (che hai detto di conoscere, ma non so se ne hai studiato la dimostrazione) si trova che:
$cos(alpha+beta)-cos(alpha-beta)=-2sen(alpha)sen(beta)$
da cui la formula di cui sopra.
$sen(alpha)sen(beta)=-1/2(cos(alpha+beta)-cos(alpha-beta))$
non è una formula di Prostaferesi. Nella dimostrazione delle formule di Prostaferesi (che hai detto di conoscere, ma non so se ne hai studiato la dimostrazione) si trova che:
$cos(alpha+beta)-cos(alpha-beta)=-2sen(alpha)sen(beta)$
da cui la formula di cui sopra.
si ....ma non credo vadano risolte in questo modo... sicuro questo è un modo corretto e anche più veloce....
ma credo che il mio professore non abbia svolto queste formule per risolverlo. In classe parlava dell'utilizzo delle formule di duplicazione e addizione/sottrazione.... io non ho mai visto la prima formula che usi...
comunque ti ringrazio per il tuo aiuto....in questo modo ho capito come si svolge
ma credo che il mio professore non abbia svolto queste formule per risolverlo. In classe parlava dell'utilizzo delle formule di duplicazione e addizione/sottrazione.... io non ho mai visto la prima formula che usi...
comunque ti ringrazio per il tuo aiuto....in questo modo ho capito come si svolge
senza prostafersi, che semplificano il tutto, ti tocca sviluppare i seni somma e differenza...
$\{(sin(3\alpha+\beta)=sin(3\alpha)cos(\beta)+cos(3\alpha)sin(\beta)),(sin(3\alpha-\beta)=sin(3\alpha)cos(\beta)-cos(3\alpha)sin(\beta)),(sin(alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)),(sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)):}$
$sin(3\alpha+\beta)sin(3\alpha-\beta)-sin(alpha+\beta)sin(\alpha-\beta)=$
$=cos^2(\beta)[sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)]+sin^2(\beta)[cos^2(\alpha)-cos^2(3\alpha)]$
aggiungendo e sottraendo 1
$cos^2(\alpha)-cos^2(3\alpha)=cos^2(\alpha)-1-cos^2(3\alpha)+1=sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)$
quindi
$cos^2(\beta)[sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)]+sin^2(\beta)[sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)]=$
$=[sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)][cos^2(\beta)+sin^2(\beta)]=sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)$
da qui puoi continuare anche tu....
guarda il denominatore $sin(4\alpha)sin(2\alpha)=sin(3\alpha+\alpha)sin(3\alpha-\alpha)$
$\{(sin(3\alpha+\beta)=sin(3\alpha)cos(\beta)+cos(3\alpha)sin(\beta)),(sin(3\alpha-\beta)=sin(3\alpha)cos(\beta)-cos(3\alpha)sin(\beta)),(sin(alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)),(sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)):}$
$sin(3\alpha+\beta)sin(3\alpha-\beta)-sin(alpha+\beta)sin(\alpha-\beta)=$
$=cos^2(\beta)[sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)]+sin^2(\beta)[cos^2(\alpha)-cos^2(3\alpha)]$
aggiungendo e sottraendo 1
$cos^2(\alpha)-cos^2(3\alpha)=cos^2(\alpha)-1-cos^2(3\alpha)+1=sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)$
quindi
$cos^2(\beta)[sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)]+sin^2(\beta)[sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)]=$
$=[sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)][cos^2(\beta)+sin^2(\beta)]=sin^2(3\alpha)-sin^2(\alpha)$
da qui puoi continuare anche tu....
guarda il denominatore $sin(4\alpha)sin(2\alpha)=sin(3\alpha+\alpha)sin(3\alpha-\alpha)$
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