Funzioni Goniometriche

[SamB98]

Disegna i grafici delle funzioni $ y=-1/4tgx $ e $ y=sen_()^(2)x $ , indicandone dominio,, condominio, periodo, e trova i loro punti di intersezione sia graficamente che algebricamente.

Soluzione algebrica:
$ sen_()^(2)x=-1/4tgx $
$ (1-cos2x) / (2)=-1/4tgx $
$ 1-cos2x=-1/2tgx $
$ -1+(1-tg^2 x)/(1+tg^2x)=+1/2tgx $
$ -1-tg^2 x+1-tg^2x=+1/2tgx+1/2tg^3x $
$ -2-2tg^2 x+2-2tg^2x=tgx+tg^3x $
$ tg^3x+4tg^2+tgx=0 $
$ tgx(tg^2x+4tgx+1)=0 $
e non so come andare avanti...

Secondo Problema:
Il grafico $ gamma $ della funzione $ y=a sen_()^(2)x+bsenxcosx-root()(2) $ passa per i punti $ (-pi /4;-root()(2)) $ e $ (-pi /2;root()(2)) $ .
a) Calcola a e b e trova in quali punti $ gamma $ attraversa l'asse x nell'intervallo $ (0;pi ) $ .
b) Trasforma l'equazione di $ gamma $ in modo da avere una sola funzione goniometrica e rappresentala in un periodo.
Soluzione punto a:
Sostituisco $ P_(1) $
$ -root()(2)=a sen^(2)(-pi /4)+bsen(-pi /4)cos(-pi /4)-root()(2) $
$ 1/2a-1/2b=0 $
\( a-b=0 \Longrightarrow a=b \)
Sostituisco \( P_{2} \)
\( \sqrt[]{{2}{}}=asen(\pi /2)+bsen(\pi /2)cos(\pi /2) \)
\( \sqrt[]{{2}{}}=a \)
Sostituisco a
\( \begin{cases} a=b \\ a=\sqrt[]{\frac{2}{}} \end{cases} \Longrightarrow b=\sqrt[]{\frac{2}{}} \)
Mentre il risultato del libro é \( a=b=2\sqrt[]{{2}{}} \)
e non venendomi il primo risultato non sono andato avanti.
Potete correggere, grazie.

[donald_zeka]

Ma perché vi complicate la vita con queste benedette formule parametriche?

$sin^2x=-1/4tanx$

Sapendo che $tanx=sinx/cosx$ abbiamo:

Dominio delle soluzioni: $x!=pi/2+kpi$

$sin^2x=-1/4sinx/cosx$

$sinx(sinx-1/(4cosx))=0$

$sinx=0$

$sinx=1/(4cosx)$

$sinxcosx=1/4$

$sin(2x)=1/2$

Nella seconda ti sei dimenticato un $-sqrt(2)$

[SamB98]

Corretto, grazie ma il risultato della prima non mi viene lo stesso e la seconda viene per il valore di a e b ma non riesco ad andare avanti. Potete dirmi come svolgere, grazie.

[donald_zeka]

Nella prima hai:

$sinx=0 -> x=kpi$

$sin(2x)=1/2 -> 2x=pi/6+2kpi, 2x=5/6pi+2kpi$ Da cui, dividendo per 2: $x=pi/12+kpi$, $x=(5pi)/12+kpi$

Nella seconda, una volta trovato $a=b=2sqrt(2)$ si ha:

$y=2sqrt(2)sin^2x+2sqrt(2)sinxcosx-sqrt(2)$

$=sqrt(2)(2sin^2x+2sinxcosx-1)=sqrt(2)(2sin^2x+2sinxcosx-sinx^2x-cos^2x)=sqrt(2)(sin^2x-cos^2x+2sinxcosx)$

Sapendo che $2sinxcosx=sin(2x)$ e che $sin^2x-cos^2x=-cos(2x)$ abbiamo:

$y=sqrt(2)(sin2x-cos2x)=2(sqrt(2)/2sin2x-sqrt(2)/2cos2x)=2sin(2x-pi/4)$

[@melia]

"SamB98":
Sostituisco \( P_{2} \)

Ottieni
$sqrt2 =asin(pi /2)+bsin(pi /2)cos(pi /2) \) -sqrt2$
$2sqrt2=a$
eccetera.

Avevi dimenticato una $sqrt2$ nell'equazione