Funzioni: definizione strana
Ciao, abbiamo affrontato oggi lo studio di funzioni, ed il professore ci ha chiesto di stamparci bene in testa che significa "periodicità" di una funzione.
Io mi trovo davanti al libro che riporta questa dicitura:
Una funzione y=f(x) appartenente R:Z si dice periodica quando trasforma in un'altra funzione tale che (T-f(x))f(x)appartiene ad R.
A parte che ad occhio mi sembra che non voglia dire niente, se anche volesse dire qualcosa, mi spieghereste cosa significa?
Valerio
Io mi trovo davanti al libro che riporta questa dicitura:
Una funzione y=f(x) appartenente R:Z si dice periodica quando trasforma in un'altra funzione tale che (T-f(x))f(x)appartiene ad R.
A parte che ad occhio mi sembra che non voglia dire niente, se anche volesse dire qualcosa, mi spieghereste cosa significa?
Valerio
Risposte
La definizione di periodicità che si usa è questa:
Una funzione f(x) è periodica (e di periodo T), se esiste un T tale che *per ogni x*,
f(x + T) = f(x).
In pratica, il grafico funzione "si ripete" dopo una lunghezza T, come i disegnini della carta da parete.
Le funzioni periodiche più famose sono il seno e il coseno, che hanno periodo
Una funzione f(x) è periodica (e di periodo T), se esiste un T tale che *per ogni x*,
f(x + T) = f(x).
In pratica, il grafico funzione "si ripete" dopo una lunghezza T, come i disegnini della carta da parete.
Le funzioni periodiche più famose sono il seno e il coseno, che hanno periodo
[math]2\pi[/math]
.
Ottimo. Scusa, ma la tangentoide e la cotangentoide sono anch'esse periodiche? Ed il loro periodo dovrebbe essere pigreco mezzi?
:hi
:hi
Il periodo della tangentoide e della cotangentoide è
[math]\pi[/math]
, non [math]\frac{\pi}{2}[/math]
;)
Ma ascolta un attimo, cosa significherebbe che il periodo è pigreco? Che ogni intervallo pigreco si ripete la stessa immagine della funzione?
Sì, è così. Se rappresenti sul piano cartesiano la funzione tangente, ad ogni intervallo di misura
[math]\pi[/math]
si ripete la stessa curva (quella che va da meno infinito a più infinito, compresa tra i due asintoti che sono a [math]\frac{\pi}{2}+2k\pi[/math]
e a [math]\frac{3}{2}\pi+2k\pi[/math]
)
Bene, questa posizione degli asintoti mi è nuova, il professore ha detto che era inutile sapere dove fossero e non l'ha detto. Buono a sapersi.
Come inutile?! :O_o
Dimmi una cosa: ma non avete mai fatto equazioni e disequazioni goniometriche? Come facevate a risolverle senza sapere i grafici delle funzioni goniometriche? Vabbè che esiste anche il metodo della circonferenza goniometrica, però con i grafici si va meglio e inoltre servono anche dopo per gli studi di funzione...
Dimmi una cosa: ma non avete mai fatto equazioni e disequazioni goniometriche? Come facevate a risolverle senza sapere i grafici delle funzioni goniometriche? Vabbè che esiste anche il metodo della circonferenza goniometrica, però con i grafici si va meglio e inoltre servono anche dopo per gli studi di funzione...
No Stefano, mai fatte equazioni/disequazioni goniometriche, usiamo il cerchio goniometrico;)
Mi sembra strana questa scelta del tuo professore...:dontgetit
Cmq non preoccuparti, ti spiego in maniera molto semplice il perchè degli asintoti. L'asintoto in una funzione è una retta verso la quale la curva in questione si avvicina sempre più senza però mai toccarla. Perciò in corrispondenza dell'asintoto, la curva va avanti all'infinito avvicinandosi sempre di più a tale retta. Come sai, la tangente è
Ecco dunque che, sull'asse delle x, a tali valori corrispono delle rette parallele all'asse y dette asintoti della funzione tangente.
Cmq non preoccuparti, ti spiego in maniera molto semplice il perchè degli asintoti. L'asintoto in una funzione è una retta verso la quale la curva in questione si avvicina sempre più senza però mai toccarla. Perciò in corrispondenza dell'asintoto, la curva va avanti all'infinito avvicinandosi sempre di più a tale retta. Come sai, la tangente è
[math]\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}[/math]
. Questo rapporto tende ad infinito quando il denominatore è zero. Perciò [math]\tan x\rightarrow \infty[/math]
quando [math]\cos x=0[/math]
, ovvero quando [math]x=\frac{\pi}{2}[/math]
o [math]x=\frac{3}{2}\pi[/math]
.Ecco dunque che, sull'asse delle x, a tali valori corrispono delle rette parallele all'asse y dette asintoti della funzione tangente.
(piccola) limatura: tg(x) --> inf quando cos(x) --> 0, ossia per x --> pg/2 + k*pg, dove k appartiene agli interi. in altri termini, nn può essere cos(x) = 0
Sì, avevo ulteriormente semplificato la questione dicendo = 0, ma in realtà è --> 0
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