Funzioni costanti, derivate e lagrange

[italo.cassano]

Buonasera a tutti, avrei bisogno di chiarimenti per il procedimento di un esercizio sulle derivate. Il testo del problema è il seguente: Dimostra che la funzione $ y=arctg(x) + arctg(1/x) $ è costante in $ R_- $ e in $ R_+ $ e trova il valore di y.
Io ho ragionato come segue:
trovo il dominio della funzione di partenza (che è tutto R), faccio la derivata della funzione che dovrebbe venire zero ( proprietà di una funzione costante) ma a questo punto ho effettivamente dimostrato che la funzione è costante?
E la y come la trovo?
Grazie in anticipo per le risposte e scusate se ho sbagliato qualcosa nella forma o nelle regole del forum.
P.S. non mi servono tanto i calcoli piuttosto il procedimento logico

[@melia]

Se indichi con $alpha$ l'angolo la cui tangente vale $x$, ovvero $alpha= arctanx$, l'angolo $beta$ la cui tangente vale $1/x$ cioè $beta=arctan (1/x)$, $beta$ è legato ad $alpha$ da un angolo di $+-pi/2$, ma vale $pi/2-alpha$ o $ -pi/2-alpha$?

Quello che sappiamo è che $-pi/2<= alpha<= pi/2$ e $-pi/2<= beta<= pi/2$.

Se $alpha>0$ allora anche $beta>0$, quindi $beta=pi/2-alpha$, perciò $alpha + beta= alpha + pi/2-alpha = pi/2$

Se $alpha<0$ anche $beta<0$, quindi $beta= -pi/2-alpha$, perciò $alpha + beta= alpha - pi/2-alpha = -pi/2$

In conclusione $y= \{(-pi/2 if x<0),(pi/2 \ \if x>0):}$

[italo.cassano]

Grazie mille @melia , spiegazione molto esaustiva.

[donald_zeka]

Il dominio non è $RR$ ma $RR^+ uu RR^-$. Per trovare y bastava anche sostituire $x=1$ e $x=-1$