Funzioni con parametro
Buonasera, degli esercizi mi chiedono:
- Determinare il CE di: $f(x)=ln((x^2-a^2)e^(1/(x-(a+1))))$
Le condizioni, evidentemente, sono $x^2>a^2 \vee x \ne a+1$. A me sarebbe venuto spontaneo dire $x^2>a^2 =>x>sqrt(a^2) => x>|a|$ e tutto ok. Ora non capisco perché la soluzione dica con $a=1,2,3,4$ a cosa devo quest'ultima condizione?
- Determinare l'insieme delle soluzioni di: $sqrt(x^2-a^2) >= x +(a-1)$
IL CE è $x>|a|$ e la risoluzione è:
${(x>a \vee x<-a),(x<1-a):} U {(x>a \vee x<-a),(x>=1-a),(x^2-a^2>=x^2+(a-1)^2+2x(a-1)):}$
${(x>a \vee x<-a),(x<1-a):} U {(x>a \vee x<-a),(x>=1-a),(x <= -((a-1)^2+a^2)/(2(a-1))):}$
Ma a questo punto le cose mi si complicano troppo e non credo debbano farlo...
Perché intanto nel primo sistema per vedere quali intervalli prendere dovrei distinguere se $a>1$ o $a<1$, giusto?
Se mi confermate che non ho sbagliato niente vado avanti, ma mi pare difficile. Sicuramente mi è sfuggito/mi son confuso in qualche punto.
Grazie mille in anticipo.
- Determinare il CE di: $f(x)=ln((x^2-a^2)e^(1/(x-(a+1))))$
Le condizioni, evidentemente, sono $x^2>a^2 \vee x \ne a+1$. A me sarebbe venuto spontaneo dire $x^2>a^2 =>x>sqrt(a^2) => x>|a|$ e tutto ok. Ora non capisco perché la soluzione dica con $a=1,2,3,4$ a cosa devo quest'ultima condizione?
- Determinare l'insieme delle soluzioni di: $sqrt(x^2-a^2) >= x +(a-1)$
IL CE è $x>|a|$ e la risoluzione è:
${(x>a \vee x<-a),(x<1-a):} U {(x>a \vee x<-a),(x>=1-a),(x^2-a^2>=x^2+(a-1)^2+2x(a-1)):}$
${(x>a \vee x<-a),(x<1-a):} U {(x>a \vee x<-a),(x>=1-a),(x <= -((a-1)^2+a^2)/(2(a-1))):}$
Ma a questo punto le cose mi si complicano troppo e non credo debbano farlo...
Perché intanto nel primo sistema per vedere quali intervalli prendere dovrei distinguere se $a>1$ o $a<1$, giusto?
Se mi confermate che non ho sbagliato niente vado avanti, ma mi pare difficile. Sicuramente mi è sfuggito/mi son confuso in qualche punto.
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Comincio a correggere un errore, presente in entrambi gli esercizi: la soluzione di $x^2>a^2$ è $x<-|a| vv x>|a|$.
Per il resto, nel primo esercizio non capisco neanch'io il motivo di quei valori numerici di $a$; posso solo supporre che tu non abbia riportato l'intero testo.
Nel secondo esercizio c'è una disequazione superflua, cioè la prima del secondo sistema; se ripassi al teoria, scopri che la soluzione di $sqrt(f(x))>=g(x)$ è data da
${(g(x)<0),(f(x)>=0):}uu{(g(x)>=0),( f(x)>=[g(x)]^2):}$
perché nel secondo sistema $f(x)$ è maggiore di un quadrato e quindi certo positivo.
Comunque le cose non si semplificano molto e non vedo scorciatoie; ti ho anzi complicato l'esercizio perché la correzione che ho fatto all'inizio obbliga anche a distinguere a seconda del segno di $a$.
Per il resto, nel primo esercizio non capisco neanch'io il motivo di quei valori numerici di $a$; posso solo supporre che tu non abbia riportato l'intero testo.
Nel secondo esercizio c'è una disequazione superflua, cioè la prima del secondo sistema; se ripassi al teoria, scopri che la soluzione di $sqrt(f(x))>=g(x)$ è data da
${(g(x)<0),(f(x)>=0):}uu{(g(x)>=0),( f(x)>=[g(x)]^2):}$
perché nel secondo sistema $f(x)$ è maggiore di un quadrato e quindi certo positivo.
Comunque le cose non si semplificano molto e non vedo scorciatoie; ti ho anzi complicato l'esercizio perché la correzione che ho fatto all'inizio obbliga anche a distinguere a seconda del segno di $a$.
"giammaria":
Comincio a correggere un errore, presente in entrambi gli esercizi: la soluzione di $x^2>a^2$ è $x<-|a| vv x>|a|$.
Per il resto, nel primo esercizio non capisco neanch'io il motivo di quei valori numerici di $a$; posso solo supporre che tu non abbia riportato l'intero testo.
Comunque le condizioni vengono le stesse che avevo inserito io, no?
Il testo l'ho davanti e l'ho scritto tutto, è semplicemente: "Determinare il CE della seguente legge".
"giammaria":
Nel secondo esercizio c'è una disequazione superflua, cioè la prima del secondo sistema; se ripassi al teoria, scopri che la soluzione di $sqrt(f(x))>=g(x)$ è data da
${(g(x)<0),(f(x)>=0):}uu{(g(x)>=0),( f(x)>=[g(x)]^2):}$
perché nel secondo sistema $f(x)$ è maggiore di un quadrato e quindi certo positivo.
Comunque le cose non si semplificano molto e non vedo scorciatoie; ti ho anzi complicato l'esercizio perché la correzione che ho fatto all'inizio obbliga anche a distinguere a seconda del segno di $a$.
Sì, per la condizione hai ragione

Per il resto boh...è strano, dovrei tenere in considerazione anche se è positiva o negativa e se è o meno maggiore di alcuni valori, altrimenti cambia tutto...
Grazie!