Funzioni composte

[remember me]

si considerino le funzioni f:x--->2x-5/x+1 e g:x--->2x+1
a)verificare che f è una corrispondenza biunivoca tra R-{-1}e R-{2}
b) determinare la funzione composta h=f composto g
c)risolvere la disequazione h(|x|)>1
d)risolvere la disequazione f(|x-1|)

[BIT5]

il dominio di f e'

[math] x+1 \no{=} 0 \to x \no{=} -1 [/math]

Posto y=f(x) avrai che

[math] y= \frac{2x-5}{x+1} [/math]

da cui ottieni

[math] y= \frac{2x}{x+1} - \frac{5}{x+1} [/math]

moltiplicando per 2/2 ottieni

[math] y= \frac22 \( \frac{2x}{x+1} - \frac{5}{x+1} \) [/math]

(sto facendo passaggi per calcolare la formula inversa...)

e quindi, minimo comune multiplo

moltiplichiamo SOLO il denominatore

[math] y= 2 \(\frac{2x}{2x+2} - \frac{5}{2x+2} \) [/math]

ora, per avere la prima frazione = 1, aggiungo e tolgo

[math] \frac{+2-2}{2x+2} [/math]

ottenendo

[math] y= 2 \( \frac{2x}{2x+2} + \frac{2}{2x+2} - \frac{2}{2x+2} - \frac{5}{2x+2} \) [/math]

sommiamo i primi due membri insieme, e il terzo e il quarto, ottenendo

[math] y= 2 \( \frac{2x+2}{2x+2} - \frac{7}{2x+2} \) [/math]

la prima frazione e' 1.

moltiplichiamo per il 2 davanti alla parentesi ottenendo

[math] y=2- \frac{14}{2x+2} \to \frac{14}{2x+2}=2-y \to 14=(2x+2)(2-y) [/math]

quindi

[math] \frac{14}{2-y} = 2x+2 \to 2x= \frac{14}{2-y}-2 \to x= \frac{7}{2-y} -1 \to x= \frac{7-2-y}{2-y} \to x= \frac{5-y}{2-y} [/math]

che ha dominio

[math] 2-y \no{=} 0 \to y \no{=} 2 [/math]

Aggiunto 7 minuti più tardi:

f composta di g intende f(g(x)) ovvero ad ogni x di f, sostituisci g(x), quindi

[math] f(g(x)) = \frac{2(2x+1)-5}{2(2x+1)+1} = \frac{4x-3}{4x+4} [/math]

La disequazione sara' dunque

[math] \frac{4|x|-3}{4|x|+4}>0 [/math]

che equivale all'unione delle soluzioni dei sistemi

[math] \{x \ge 0 \\ \frac{4x-3}{4x+4} > 0 [/math]

[math] \cup \{x 0 [/math]

analogamente tornando a f(x), sostituiamo ad ogni x il valore |x-1| e otteniamo

[math] f(|x-1|)