Funzioni composte
Sia $h=g[f(x)]$ la composizione di due funzioni $f$ e $g$. Si verifichi che:
1) Se $f$ è iniettiva, allora $h$ è iniettiva;
2) se $g$ è suriettiva, allora $h$ è suriettiva.
Prendo 3 insiemi $A$, $B$ e $C$ per chiarezza, dove $A$ è l'insieme delle $x$, $B$ è l'insieme delle immagini delle $x$ e $C$ è l'insieme di arrivo di $g[f(x)]$
La prima frase mi sembra in generale falsa. Se $f$ è iniettiva vuol dire che presi $a_1, a_2 in A$, se $a_1!=a_2$ allora $f(a_1) != f(a_2)$, però può accadere che tutti gli elementi di $B$ abbiano la stessa immagine in $C$, quindi l'iniettività di $f$ non implica l'iniettività di $h$.
Mi sfugge qualcosa?
1) Se $f$ è iniettiva, allora $h$ è iniettiva;
2) se $g$ è suriettiva, allora $h$ è suriettiva.
Prendo 3 insiemi $A$, $B$ e $C$ per chiarezza, dove $A$ è l'insieme delle $x$, $B$ è l'insieme delle immagini delle $x$ e $C$ è l'insieme di arrivo di $g[f(x)]$
La prima frase mi sembra in generale falsa. Se $f$ è iniettiva vuol dire che presi $a_1, a_2 in A$, se $a_1!=a_2$ allora $f(a_1) != f(a_2)$, però può accadere che tutti gli elementi di $B$ abbiano la stessa immagine in $C$, quindi l'iniettività di $f$ non implica l'iniettività di $h$.
Mi sfugge qualcosa?
Risposte
"Martino":
No, questo è sbagliato. Per esempio se hai $f:RR to RR$, $f(x)=-x^2$, e $g:RR_(ge 0) to RR$, $g(x)=sqrt(x)$ allora l'immagine di $f$ intersecata col dominio di $g$ è non vuota dato che contiene $0$. D'altra parte $g(f(x))=sqrt(-x^2)$ non esiste quando $x ne 0$.
Quindi non vale il "se e solo se". Però è chiaro che la composizione di due funzioni non è sempre possibile, e allora quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per la composizione?
Provo a dire la mia. Voglio "creare" $g[f(x)]$ (così evito la confusione tra funzione interna e quella esterna): condizione necessaria e sufficiente per la composizione di due funzioni è che l'insieme delle immagini di $f(x)$ sia un sottoinsieme del dominio di $g(x)$
"Martino":
Tu hai due funzioni $g:B to C$, $f:A to B$. Le puoi comporre ottenendo $g circ f:A to C$. Il dominio di $g circ f$ è $A$, il suo codominio è $C$.
Una funzione è costituita da 3 cose: il suo dominio, il suo codominio e la "regola" che ti dice qual è l'immagine di un dato elemento del dominio. La composizione tra due funzioni $A to B$ e $B to C$ ha sempre (per definizione) come dominio $A$ e come codominio $C$.
A me sembra che quando hai a che fare con funzioni nuove (ottenute a partire da altre) tu ne decida il dominio, ma non è così che funziona. Il dominio non lo "calcoli", né lo decidi tu. Il dominio è dato. E anche il codominio.
Qui in effetti mi stavo confondendo quando parlavo di restringere il dominio della funzione $g(x)=x+1$, poiché $f(x)=x^2$ ha come insieme delle immagini $RR^+ uu {0}$
Per poter comporre due funzioni, l'unica condizione è che l'immagine (= insieme delle immagini) della prima (funzione interna, quella che viene applicata per prima) dev'essere contenuta nel dominio della seconda (esterna, quella che viene applicata per seconda).
Perfetto, grazie mille!
quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per la composizione?In generale, l'unica condizione richiesta per comporre due funzioni è che il codominio dell'una, diciamo \(f : A\to B\) coincida con il dominio dell'altra, diciamo \(g : B\to C\), e nient'altro.
Se però consideri funzioni parziali, cioè quelle \(f : A\to B\) che hanno per dominio un sottoinsieme possibilmente proprio \(Df\subseteq A\) di $A$, questa condizione si può rilassare a patto di lasciare non definita la composizione \(g\circ f\) su tutti gli elementi di \(f(A)\cap (B\setminus Dg)\). https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_function
"megas_archon":quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per la composizione?In generale, l'unica condizione richiesta per comporre due funzioni è che il codominio dell'una, diciamo \(f : A\to B\) coincida con il dominio dell'altra, diciamo \(g : B\to C\), e nient'altro.
Però scusa ma non sarebbe più corretto parlare di insieme delle immagini? Ad esempio, considero $f: RR->RR$, $f(x)=x^2$ e $g: RR^+ -> RR$, $g(x)=lnx$. Voglio fare $g[f(x)]$. Ovviamente lo posso fare, ma il codominio della funzione più interna, cioè $RR$, non coincide col dominio della funzione più esterna, che è $RR^+$. Sto pensando che per poter fare la composizione di funzioni basti semplicemente che il dominio della funzione più esterna sia un sottoinsieme dell'insieme delle immagini della funzione più interna: nel mio caso $RR^+$ è un sottoinsieme di $RR^+ uu {0}$ e quindi posso fare la composizione.
Però scusa ma non sarebbe più corretto parlare di insieme delle immagini?Non c'è alcun bisogno di parlare di insiemi. Le funzioni tra insiemi non sono le uniche cose che possono essere composte in maniera associativa e unitale.
Riguardo al tuo esempio, \(g : \mathbb R^+ \to \mathbb R : x\mapsto \log x\), funzione totale, è diversa da \(g' : \mathbb R \to \mathbb R : x\mapsto \begin{cases} \log x & x> 0\\\perp & x\le 0 \end{cases}\), funzione parziale. La composizione di funzioni parziali \(g'\circ f\) sarà totale se e solo se \(f : X\to \mathbb R\) è tale che \(\forall x\in X fx > 0\). Se \(f : \mathbb R \to \mathbb R : x\mapsto x^2\), allora \(g'\circ f : x\mapsto \log (x^2)\) è parziale, non-definita in un solo punto, \(x=0\).
"megas_archon":
Se però consideri funzioni parziali, cioè quelle \(f : A\to B\) che hanno per dominio un sottoinsieme possibilmente proprio \(Df\subseteq A\) di $A$, questa condizione si può rilassare a patto di lasciare non definita la composizione \(g\circ f\) su tutti gli elementi di \(f(A)\cap (B\setminus Dg)\). https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_function
Ok, quindi nel mio esempio non considero $R_>=0 nn (RR \setminus RR^+) = 0$ e non mi crea problemi il fatto che lo $0$, immagine di $x->x^2$, non sia associato ad alcun elemento di $g$
"megas_archon":
Riguardo al tuo esempio, \(g : \mathbb R^+ \to \mathbb R : x\mapsto \log x\), funzione totale, è diversa da \(g' : \mathbb R \to \mathbb R : x\mapsto \begin{cases} \log x & x> 0\\\perp & x\le 0 \end{cases}\), funzione parziale. La composizione di funzioni parziali \(g'\circ f\) sarà totale se e solo se \(f : X\to \mathbb R\) è tale che \(\forall x\in X fx > 0\). Se \(f : \mathbb R \to \mathbb R : x\mapsto x^2\), allora \(g'\circ f : x\mapsto \log (x^2)\) è parziale, non-definita in un solo punto, \(x=0\).
Ma la $g'$ che funzione è? Per cosa sta quel segno di perpendicolarità quando $x<=0$? Segnala il fatto che le $x<=0$ hanno immagine da $A$ a $B$ ma che le loro immagini non hanno immagini $B$ a $C$? (scusa il gioco di parole)
Per cosa sta quel segno di perpendicolaritàSignifica "non definito".
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