Funzioni composte
Sia $h=g[f(x)]$ la composizione di due funzioni $f$ e $g$. Si verifichi che:
1) Se $f$ è iniettiva, allora $h$ è iniettiva;
2) se $g$ è suriettiva, allora $h$ è suriettiva.
Prendo 3 insiemi $A$, $B$ e $C$ per chiarezza, dove $A$ è l'insieme delle $x$, $B$ è l'insieme delle immagini delle $x$ e $C$ è l'insieme di arrivo di $g[f(x)]$
La prima frase mi sembra in generale falsa. Se $f$ è iniettiva vuol dire che presi $a_1, a_2 in A$, se $a_1!=a_2$ allora $f(a_1) != f(a_2)$, però può accadere che tutti gli elementi di $B$ abbiano la stessa immagine in $C$, quindi l'iniettività di $f$ non implica l'iniettività di $h$.
Mi sfugge qualcosa?
1) Se $f$ è iniettiva, allora $h$ è iniettiva;
2) se $g$ è suriettiva, allora $h$ è suriettiva.
Prendo 3 insiemi $A$, $B$ e $C$ per chiarezza, dove $A$ è l'insieme delle $x$, $B$ è l'insieme delle immagini delle $x$ e $C$ è l'insieme di arrivo di $g[f(x)]$
La prima frase mi sembra in generale falsa. Se $f$ è iniettiva vuol dire che presi $a_1, a_2 in A$, se $a_1!=a_2$ allora $f(a_1) != f(a_2)$, però può accadere che tutti gli elementi di $B$ abbiano la stessa immagine in $C$, quindi l'iniettività di $f$ non implica l'iniettività di $h$.
Mi sfugge qualcosa?
Risposte
In (2) se $f$ è costante cosa succede?
Succede che l'insieme $B$ si ridurrebbe ad un solo elemento, che ovviamente può avere una sola immagine in $C$. Quindi anche la funzione $h$ sarebbe costante e la due è falsa, giusto?
Ho un'altra domanda. Se io considero ad esempio $f(x) = x^2$ e $g(x)=x+1$, se faccio $g[f(x)]$ devo restringere il dominio di $g(x)$ a $x>=0$?. Questo perché le immagini di $x^2$ sono tutte non negative, e quindi se considerassi come dominio di $g$ tutto $RR$ ci sarebbero elementi del dominio a cui non sarebbe associata nessuna immagine: ad esempio $g[-2]$ non esiste.
EDIT: in realtà $g[f(-2)]=5$. Quello che volevo dire era se fosse corretto considerare la funzione più interna, cioè $g$, con il suo dominio naturale $RR$: siccome in teoria l'insieme $B$ è l'insieme delle immagini della funzione $x$ attraverso $f$, quest'ultime nel mio esempio sono sempre non negative, e quindi la funzione composta sarebbe una cosa del tipo $RR->R^+ uu {0} -> RR$ piuttosto che $RR->RR->RR$. Spero si capisca.
EDIT: in realtà $g[f(-2)]=5$. Quello che volevo dire era se fosse corretto considerare la funzione più interna, cioè $g$, con il suo dominio naturale $RR$: siccome in teoria l'insieme $B$ è l'insieme delle immagini della funzione $x$ attraverso $f$, quest'ultime nel mio esempio sono sempre non negative, e quindi la funzione composta sarebbe una cosa del tipo $RR->R^+ uu {0} -> RR$ piuttosto che $RR->RR->RR$. Spero si capisca.
Ti devi ripassare il concetto di funzione, dominio e codominio. Il dominio e il codominio di una funzione sono fissi e non cambiano in base a cosa fai dopo.
Sospetto che per te "codominio" e "immagine" siano un po' la stessa cosa, e invece non lo sono.
Ti consiglio una vecchia discussione (clic) che dovrebbe chiarirti un po' di cose (se hai commenti non rispondere lì perché è un thread di molti anni fa, continua pure qui).
Sospetto che per te "codominio" e "immagine" siano un po' la stessa cosa, e invece non lo sono.
Ti consiglio una vecchia discussione (clic) che dovrebbe chiarirti un po' di cose (se hai commenti non rispondere lì perché è un thread di molti anni fa, continua pure qui).
"Martino":
Sospetto che per te "codominio" e "immagine" siano un po' la stessa cosa, e invece non lo sono.
In realtà il termine "codominio" cerco di non usarlo, perché alcuni lo intendono come "insieme di arrivo" e altri come "insieme delle immagini", che ovviamente sono cose differenti. Ad esempio se prendo $f: RR->RR$ definita dalla legge $f(x)=x^2$ l'insieme di arrivo di questa funzione è $RR$ ma l'insieme delle immagini è $RR^+ uu {0}$.
"Martino":
Ti devi ripassare il concetto di funzione, dominio e codominio. Il dominio e il codominio di una funzione sono fissi e non cambiano in base a cosa fai dopo.
Credo quindi che il mio problema non abbia tanto senso di esistere. Mi accontenterò di sapere che la composizione di funzioni si può fare se "l'insieme delle immagini della funzione più esterna intersecato col dominio della funzione più interna è diverso dall'insieme vuoto". Ad esempio $f(x) = x^2$, $g(x) = x+1$. $g[f(x)]$ si può fare perché $Im_f nn Dom_g !=empty$; invece se considero $f(x)= sin(x^2+2)-2$ e $g(x)=sqrt(x)$ non posso fare $g[f(x)]$ perché $Im_f nn Dom_g = empty$
Ma certo che si può fare, dipende da quali sono il dominio e il codominio.
Martino intendeva dire che sono fissi per QUELLE specifiche funzioni non per ogni espressione matematica.
Martino intendeva dire che sono fissi per QUELLE specifiche funzioni non per ogni espressione matematica.
"axpgn":
Ma certo che si può fare, dipende da quali sono il dominio e il codominio.
Aspetta non ho capito cosa si può fare, la composizione $g[f(x)]$ con $f(x) = sin(x^2+2)-2$ e $g(x) = sqrt(x)$?
Detto in modo grezzo, una funzione è definita da tre elementi: dominio, codominio e legge di corrispondenza; non basta solo quest'ultima per definire una funzione.
Per esempio $f(x)=x^2$ non è nè iniettiva nè suriettiva se consideri $RR -> RR$ ma diventa biettiva se consideri $RR^+ -> RR^+$
Per esempio $f(x)=x^2$ non è nè iniettiva nè suriettiva se consideri $RR -> RR$ ma diventa biettiva se consideri $RR^+ -> RR^+$
Quello che puoi fare dipende solo da dominio e codominio
Il termine "codominio" cerchi di non usarlo, dici. Invece di cercare di non usarlo, potresti cercare di capirlo 
"axpgn":
Detto in modo grezzo, una funzione è definita da tre elementi: dominio, codominio e legge di corrispondenza; non basta solo quest'ultima per definire una funzione.
Per esempio $f(x)=x^2$ non è nè iniettiva nè suriettiva se consideri $RR -> RR$ ma diventa biettiva se consideri $RR^+ -> RR^+$
Ma tutto questo mi è chiaro, c'è qualcosa dei miei messaggi che ti ha fatto pensare che avessi dubbi su questo?
"Martino":
Il termine "codominio" cerchi di non usarlo, dici. Invece di cercare di non usarlo, potresti cercare di capirlo
Codominio = insieme di arrivo? Ero già andato in confusione su questo perché il mio libro del liceo per codominio intendeva "insieme delle immagini", ma se mi confermi che il codominio è l'insieme di arrivo d'ora in poi lo userò, d'altronde sarebbe qualcosa che mi è già noto che starei chiamando con un nome più appropriato.
Se ti è chiaro, bene, è sufficiente.
Nei messaggi precedenti non mi riferivo ad un caso specifico
Nei messaggi precedenti non mi riferivo ad un caso specifico
Purtroppo in molti libri recenti si intende proprio codominio=insieme delle immagini; questo crea una confusione pazzesca
Tornando più in topic, mi confermate che
queste due in generale sono false?
Inoltre, è vero che la composizione di funzioni si può fare se e solo se "l'insieme delle immagini della funzione più esterna intersecato col dominio della funzione più interna è diverso dall'insieme vuoto"? Mi sembra ci fossero dubbi su questo ma a me sembra una cosa sensata.
"HowardRoark":
Sia $h=g[f(x)]$ la composizione di due funzioni $f$ e $g$. Si verifichi che:
1) Se $f$ è iniettiva, allora $h$ è iniettiva;
2) se $g$ è suriettiva, allora $h$ è suriettiva.
queste due in generale sono false?
Inoltre, è vero che la composizione di funzioni si può fare se e solo se "l'insieme delle immagini della funzione più esterna intersecato col dominio della funzione più interna è diverso dall'insieme vuoto"? Mi sembra ci fossero dubbi su questo ma a me sembra una cosa sensata.
Forse ho capito male cosa intendi ma è vero il contrario cioè l'insieme delle immagini della funzione interna deve essere contenuto nel dominio della funzione esterna
Forse sono i termini "funzione interna" e "funzione esterna" che sono ambigui.
Se prendo $g[f(x)]$ per "funzione esterna" intendo la $f(x)$, quella che si applica per prima, la cui immagine deve essere un sottoinsieme del dominio della funzione più interna, altrimenti banalmente $g[f(x)]$ non potrebbe prendere alcun input valido.
$f(x) = sin(x^2+2) - 2$ ha come insieme delle immagini $[-3,-1]$; se considero $g[f(x)]=sqrt(f(x))$ questa non avrebbe input validi e pertanto la composizione non sarebbe possibile. Sicuramente ci siamo capiti male perché penso sia una cosa abbastanza facile questa.
Se prendo $g[f(x)]$ per "funzione esterna" intendo la $f(x)$, quella che si applica per prima, la cui immagine deve essere un sottoinsieme del dominio della funzione più interna, altrimenti banalmente $g[f(x)]$ non potrebbe prendere alcun input valido.
$f(x) = sin(x^2+2) - 2$ ha come insieme delle immagini $[-3,-1]$; se considero $g[f(x)]=sqrt(f(x))$ questa non avrebbe input validi e pertanto la composizione non sarebbe possibile. Sicuramente ci siamo capiti male perché penso sia una cosa abbastanza facile questa.
$f(x)$ è quella interna, $g(x)$ quella esterna.
"HowardRoark":Esatto, in generale sono entrambe false.
queste due in generale sono false?
Inoltre, è vero che la composizione di funzioni si può fare se e solo se "l'insieme delle immagini della funzione più esterna intersecato col dominio della funzione più interna è diverso dall'insieme vuoto"?No, questo è sbagliato. Per esempio se hai $f:RR to RR$, $f(x)=-x^2$, e $g:RR_(ge 0) to RR$, $g(x)=sqrt(x)$ allora l'immagine di $f$ intersecata col dominio di $g$ è non vuota dato che contiene $0$. D'altra parte $g(f(x))=sqrt(-x^2)$ non esiste quando $x ne 0$.
Tu hai due funzioni $g:B to C$, $f:A to B$. Le puoi comporre ottenendo $g circ f:A to C$. Il dominio di $g circ f$ è $A$, il suo codominio è $C$.
Una funzione è costituita da 3 cose: il suo dominio, il suo codominio e la "regola" che ti dice qual è l'immagine di un dato elemento del dominio. La composizione tra due funzioni $A to B$ e $B to C$ ha sempre (per definizione) come dominio $A$ e come codominio $C$.
A me sembra che quando hai a che fare con funzioni nuove (ottenute a partire da altre) tu ne decida il dominio, ma non è così che funziona. Il dominio non lo "calcoli", né lo decidi tu. Il dominio è dato. E anche il codominio.
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